第十七章 勾股定理单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝6，则AC等于（ ）
A．12 B．8 C．4 D．2
2．下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．5，12，13
3．如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且，则图中大正方形的边长为（ ）
A． B． C．4 D．3
6．如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．1﹣ C．﹣1+ D．﹣1﹣
7．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（ ）
A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，，则四边形ABCD的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
9．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2 B． C．3 D．
10．如图．每个小正方形的边长为1，格点线段与交于点，与交于点，连接．有下列结论①；②；③；④；⑤；⑥的面积为0.75．其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二．填空题（共6小题）
11．若直角三角形两直角边长分别为9和40，则斜边长为 ．
12．观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为 ．
13．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点A、、是小正方形的顶点，则的度数为________．
14．海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是 ．
15．如图，长方形中，，．点为线段上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，为______
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 时，能使DE＝CD？
三．解答题（共7小题）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，已知BC＝10，AD＝12，求AC的长．
18．已知△ABC的三边长a、b、c满足|a﹣4|+（2b﹣12）2+＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝5，AB＝4．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）求BD的长．
20．问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点．(即三个顶点都在小正方形的顶点处)．如图①所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将的面积直接填写在横线上___________；
(2)在图②中画，使、、三边的长分别为、、；
(3)这个三角形的形状是____________．
21．在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
22．如图，有一张三角形纸片，三边长分别为，，．
(1)求证：；
(2)将沿折叠，使点B与点A重合，求的长．
23．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么．
(1)直接填空：如图①，若，则__________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明．
(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知，利用上面的结论求EF的长？
()
第17章 勾股定理单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝6，则AC等于（ ）
A．12 B．8 C．4 D．2
【分析】由勾股定理可直接得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝8，
故选：B．
2．下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．5，12，13
【分析】根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解．
【解答】解：∵22+32≠42，（），42+62≠92，52+122＝132，
∴选项D中数据能作为直角三角形的三边长，
故选：D．
3．如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．
【详解】解：根据勾股定理可得：
，，
，即，
是等腰直角三角形．
．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
4．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理即可求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：，，
，
，
根据折叠可得：，
，
设，则，，
在中：，
解得：，
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且，则图中大正方形的边长为（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据大正方形面积等于4个三角形面积与小正方形面积和即可求解．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，
∴S△=，
大正方形的面积为：4S△+小正方形面积=4×3＋1＝13，
所以大正方形的边长为．
故选B．
【点睛】本题考查勾股弦图的应用，算术平方根，掌握勾股弦图的应用，算术平方根是解题关键．
6．如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．1﹣ C．﹣1+ D．﹣1﹣
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线长，从而得出答案．
【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴对角线长为＝，
∴点A表示的数是1﹣，
故选：B．
7．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（ ）
A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB+BC＝3.6m，AC＝2.4m，
∴BC2＝AB2+AC2，
即（3.6﹣AB）2＝AB2+2.42，
解得：AB＝1，
故选：D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，，则四边形ABCD的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
【分析】连接AC，然后根据勾股定理可以求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD的形状，从而可以求得四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∵CD＝2，，
∴CD2+AC2＝（2）2+（）2＝17，AD2＝（）2＝17，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积是：AB BC+AC CD＝×1×2+××2＝1+．
故选：D．
9．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【详解】解：纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，如图所示，
∵∠C=90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB10，
由折叠的性质得：BE＝BC＝8，∠BED＝∠C＝90°，CD＝DE，
∴AE＝AB－BE＝10﹣8＝2，∠AED＝180°－∠BED＝90°，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝6－x，
在Rt△DEA中，，
∴，
解得：x＝，
∴CD＝，
即点D到顶点C的距离是．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
10．如图．每个小正方形的边长为1，格点线段与交于点，与交于点，连接．有下列结论①；②；③；④；⑤；⑥的面积为0.75．其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】先证明，再逐个选项推理即可．
【详解】如图，
由图可得，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵中，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴，故④错误；
连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，故⑤正确；
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为0.75，故⑥正确；
综上所述，正确的有①②⑤⑥；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握这些性质是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．若直角三角形两直角边长分别为9和40，则斜边长为 41 ．
【分析】利用勾股定理直接计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝41．
故答案为：41．
12．观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为 18，80，82 ．
【分析】据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1．根据这个规律即可解答．
【解答】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，
故可得第⑦组勾股数是18，80，82．
故答案为选：18，80，82．
13．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点A、、是小正方形的顶点，则的度数为________．
【答案】
【分析】连接根据勾股定理求出，，，根据勾股定理逆定理得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，由题意可得，
，，，
∴，，
∴，
∴ ，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理及等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据勾股定理求出，，，得到．
14．海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是 北偏东40° ．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．
【解答】解：由题意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），
又∵AB＝30海里，
∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2
∴∠AOB＝90°，
∵∠DOA＝50°，
∴∠BOD＝40°，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏东40°，
故答案为：北偏东40°．
15．如图，长方形中，，．点为线段上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，为______
【答案】
【分析】假设为直角三角形，可得，设，则，，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
与关于直线对称，，，当为直角三角形时，
∵，
∴点，，在同一条直线上，则有，，
∴设，则，，
∴，则，
∴，即，解方程得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考察长方形的性质与直角三角形的勾股定理得综合，掌握长方形的性质，勾股定理是解题的关键．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 5或11 时，能使DE＝CD？
【分析】根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【解答】解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11．
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，已知BC＝10，AD＝12，求AC的长．
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，
∵AD＝12，
∴AC＝＝＝13，
故AC的长为13．
18．已知△ABC的三边长a、b、c满足|a﹣4|+（2b﹣12）2+＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形．
【解答】解：△ABC为直角三角形，理由如下：
由题意得a﹣4＝0，2b﹣12＝0，10﹣c＝0，
所以a＝8，b＝6，c＝10，
因为82+62＝102，
所以a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
19．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝5，AB＝4．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）求BD的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证∠C＝90°；
（2）在Rt△ACB中，先根据勾股定理得到BC的长，再根据线段的和差关系可求BD的长．
【解答】（1）证明：∵AC2+CD2＝42+32＝25，AD2＝52＝25，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝＝＝8，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5．
20．问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点．(即三个顶点都在小正方形的顶点处)．如图①所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将的面积直接填写在横线上___________；
(2)在图②中画，使、、三边的长分别为、、；
(3)这个三角形的形状是____________．
【答案】(1)
(2)画图见解析
(3)直角三角形
【分析】（1）用一个长方形的面积分别减去三个三角形的面积可求出的面积；
（2）利用勾股定理和网格特点分别画出；
（3）根据勾股定理的逆定理证明此三角形为直角三角形．
【详解】（1）解：的面积；
故答案为：；
（2）如图，即为所求作的三角形；
（3）为直角三角形．
理由：∵ ，，，
∴，
∴为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，网格三角形面积的计算，画网格三角形，熟练的利用勾股定理画网格三角形是解本题的关键．
21．在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【分析】由勾股定理得出AC，再由勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，然后由直角三角形面积求法得出这片空地的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝AD AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），
∴100×114＝11400（元），
答：绿化这片空地共需花费11400元．
22．如图，有一张三角形纸片，三边长分别为，，．
(1)求证：；
(2)将沿折叠，使点B与点A重合，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，即可得出答案；
（2）由折叠知：，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵在中，，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，
即；
（2）解：由折叠知：，为直角三角形，
在中，①，
设，则，
代入①式得
化简得，
解得：，
即CD的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
23．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么．
(1)直接填空：如图①，若，则__________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明．
(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知，利用上面的结论求EF的长？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）直接根据直角三角形三条边的关系进行计算即可；
（2）根据梯形面积等于三个三角形的面积和推导即可；
（3）根据折叠的性质得出,,然后根据直角三角形三边关系得出，进而得出，设，则，在中，，列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
则，
∴，
∴，
∴；
（3）∵折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴,,
∴,
∴,
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的三边关系－勾股定理，以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
()
