2023年九年级教学质量监测
数学试题
注意事项：
1.本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在试卷相应位置上。
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，务必将答题卡交回。
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑.每小题3分，共30分）
1.的相反数是（ ）
A. B.2023 C. D.
2.2023年的央视春晩舞美设计以“满庭芳”为主题，将中华文明的传统美学理念与现代科技相结合，令人耳目一新.演播厅顶部的大花造型，来源于中国传统纹样“宝相花”（如图）.下列选项对其对称性的表述正确的是（ ）
A.轴对称图形 B.既是轴对称图形又是中心对称图形
C.中心对称图形 D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.眼下正值春耕备耕关键时期，中国人民银行运城市中心支行指导辖内银行业金融机构将“支持春耕备耕”作为重点工作，多措并举，加大信贷投放力度.截至目前，辖内银行业金融机构共向春耕备耕领域投放贷款5.68万户共计27.87亿元，扡数据“27.87亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5.不等式组的解集正确的是（ ）
A.无解集 B. C. D.
6.运城市位于山西省南部，生产水果自然条件得天独厚，是世界上优质苹果生产最佳生态区.某农村合作社2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到423.5吨，这两年苹果的储存量的年平均增长率为（ ）
A.10% B.10.5% C.11% D.21%
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，则抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图是一块正六边形的地板示意图，一只小猫在房间里玩耍并随机的停留在某处，那么小猫最终停留在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是（ ）
A.同位角相等，两直线平行 B.三角形中位线定理
C.平行线分线段成比例 D.相似三角形的对应边成比例
10.“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成一个大正方形，如图，已知内切于大正方形，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.4 C. D.
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.化简：______.
12.在平面直角坐标系中，与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，则与的相似比为______.
13.在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为______.
14.如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在反比例函数图象上，点为反比例函数图象上一动点，且在直线右侧，过点作轴于点，作于点，当四边形为正方形时，点坐标为______.
15.如图，在中，，，点是内一点，且，将绕点逆时针方向旋转90°得到线段，连接并延长交于，若，，则的长为______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（11分）计算（1）.
（2）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：
…………第一步
…………第二步
…………第三步
…………第四步
…………第五步
…………第六步
任务一：填空
①以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于______；
A.整式乘法 B.因式分解
②以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是____________；
③第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是____________.
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果.
17.（9分）运城盐湖是世界三大硫酸钠型内阵盐湖之一，自古就有“银湖”之美称.每年夏天高温时节，湖内的藻类和卤虫迅速繁殖，在不同的密度与光照条件下，呈现出不同的颜色.原本银色的湖面摇身一变，五彩斑斓.为了激发广大青少年热爱家乡，赞美家乡的热情，某校组织了有关盐湖知识的竞答活动，并随机抽取了八年级若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告.
请根据调查报告中提供的信息，解答下列问题：
课题 “运城”盐湖知识竞答成绩调查报告
调查方式 ____________
问题展示 夏季气温升高，“盐湖”为什么会形成不同的颜色？ 人为什么可以在“死海”漂浮？ 冬季运城盐湖会产生特别的“硝花”现象，你知道这是怎么形成的吗？ ……
数据的整 理与描述 成绩/分频数/人频率.120.2.18.150.25.0.15.60.1
*注：其中成绩在组（）的最低分为80分，成绩在组（）的最高分为78分
调查意义 通过对运城盐湖知识的了解不仅能为同学们的化学，地理学习奠定基础，培养同学们的探究能力，同时还能激发同学们对家乡的热爱
调查结果
（1）本次的调查方式是：______（填“普查”或“抽样调查”）
（2）填空：______；______；
（3）本次抽取的学生成绩的中位数为______分；
（4）同学们将收集到的“七彩盐湖”，“冬日硝花”“湖心岛”“夕阳盐田”四张图片（图片除正面图案不同外，其余都相同）背面朝上洗匀，甲乙同学随机各抽一张图片（不放回）做相关的知识介绍，请用树状图或列表的方式，求甲乙两人恰好有一人抽到“冬日硝花”的概率.
A. B.
C. D.
18.（8分）学校某数学课外活动小组周末来到山西省永济市参观研学，对于中国古代四大名楼中最高的鹳雀楼进行了参观，并针对其高度做了一些简单的测量，具体操作如下：如图所示，测试小组先在楼前的唐韵广场上的点处，测得楼上极目远眺黄河的观景台点处的仰角，然后向后退42.5米到点处，即米，再测楼顶点处的仰角恰好是45°，现已知米，点、、、、在同一竖直平面内，且点、、在同一水平直线上，试求鹳雀楼的高度约为多少米？（参考数据：，测角仪的高度忽略不计，结果精确到1米）
19.（9分）自2014年以来，全民阅读连续十年写入政府工作报告，2023年全国教育工作会议进一步提出，要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书.某校为了提高学生读书兴趣，为各班购买学生读本《三国演义》和《水浒传》若干，其中《三国演义》的单价比《水游传》的单价贵10元；用5760元购买《水浒传》的数是是用3480元购买《三国演义》数量的2倍.求：
（1）《水浒传》《三国演义》单价分别是多少元？
（2）学校准备用不超过10320元的经费，购买这两种书共200本，那么三国演义最多可买多少本？
20.（8分）如图：是的直径，，是上两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，，，延长交直线于点，且.
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，直接写出的长.
21.（6分）阅读下列材料并完成相应任务：
对于一元二次方程（），如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值.
小明给出了一部分解题思路：
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴______，∴______，
∴
请填空并将过程补充完整.
（2）类比应用
一元二次方程的一个根为，则______，另一个根为______.
（3）思维拓展：
关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，则______.
22.（12分）综合与实践
问题情境：如图（1）在中，，，，于点，点是中点，将绕点旋转180°得到.
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由.
问题解决：
（2）将绕点逆时针方向旋转得到，当旋转到如图（2）位置时直线刚好经过点.求证：，并求出此时的面积.
（3）在绕点旋转的过程中，直线交于点，交于点，是否存在某一时刻，使是直角三角形.若存在，直接写出的长，若不存在请说明理由.
23.（12分）综合与探究：如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点.连接，，点是该二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为.
（1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
（2）如图2，若点只在第三象限运动，过点作直线交轴于点.当线段长度最大时，求的值；
（3）在轴左侧抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.2023 年九年级教学质量检测（2023.4）
一、选择题
1-5 BBCCC 6-10 ABCCD
二、填空题
3 1
11. 2 12. （或 1:3） 13.20 14.（ 13 1，13 1) 15. 1
2 3
三、解答题
16.（1）原式 1 4 2 2 3 .................4 分
1 8 2 3
7 2 3 .................5分
（2）任务一：
①B .................1 分
②三 分式的基本性质 （分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的
整式，分式的值不变） .................3 分
③四 括号前面是“-”号，去括号时“ 2x和1”这两项没有变号 .........5 分
4
任务二： .................6 分
x 1
17.（1）随机调查 .................1 分
（2）9 0.3 .................3分
（3）79 .................4 分
（4）把“七彩盐湖”“冬日硝花”“湖心岛”“夕阳盐田”分别记作 A，B，C，D.
列表如下：
1
乙 A B C D
甲
A (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C)
共有 12种等可能的结果，甲乙两人恰好有一人抽到“冬日硝花”的占 6 种，所
1
以甲乙两人恰好有一人抽到“冬日硝花”的概率为 ................9 分
2
18.解：设 BD 长为 x米， ……1分
在 Rt△BCD 中，∠DBC＝90°∠BDC＝60°，
∴ tan∠BDC BC
BD
3 BC即
x
∴BC＝ 3x， .......2 分
在 Rt△ABE 中，∠DBC＝90°∠AEB＝45°
∴∠A＝45°
∴AB=BE 即 AC+BC=DE+BD .............3 分
又∵DE=42.5 米，AC=19.5 米
∴19.5+ 3x = x +42.5 ..........5 分
23( 3 1)
解得: x 31.51或 x ......6 分
2
∴AB＝BE≈42.5+31.51≈74 米 ..........7 分
答：鹳雀楼的高度约为 74 米.(其它解法参照给分） ..........8 分
19.（1）设《水浒传》的单价是 x元，则《三国演义》的单价是 x 10 元. ..........1 分
5760 3480
则由题意得： 2 ..........2 分
x x 10
2
解得: x 48 ..........3 分
经检验 x 48是原分式方程的解且符合实际意义
x 10 58 ..........4 分
答：《水浒传》的单价是 48 元，《三国演义》的单价是 58元. ..........5 分
（2）设《三国演义》可买 a本，《水浒传》可买（200 a）本. .........6 分
则由题意得：58a 48 200 a 10320 ..........7 分
解得： a 72 ..........8 分
答：三国演义最多可买 72本. ..........9 分
20.解：（1）BD⊥PD ……1分
理由是：连接 OC ……2分
∵PD 与⊙O相切于点 C
∴∠PCO=90° ……3分
∵∠CAE=∠ABC，∠CAE=∠CBE
∴∠ABC=∠CBE
∵OC=OB
∴∠OBC=∠OCB
∴∠OCB=∠CBE ……4分
∴OC∥BD
∴∠PDB=∠PCO=90°即 BD⊥PD ……5分
4
（2）DE= (可作 AF⊥PD 于 F） ……8分
3
此题解法多样，其它解法参照给分
21.解：（1）3，﹣2；原式=3×（-2）=-6 ........................3分
（2 3 1） ........................5分
2 2
（3）2 ........................6分
22.（1）四边形 ADCE为矩形.理由如下： ·········1分
B 30 ， ACB 90
3
BAC 60
CD AB
CDA 90
图①
ACD 30 ·········2分
由旋转可得： E ADC 90 ， CAE ACD 30 ········3分
DAE DAC CAE 90
∴四边形 ADCE为矩形 ·········4 分
(2)在 Rt ABC中， B 30 ，
AB 2AC 4
由（1）得： CAE 30 ， BAC 60 ， E 90
由旋转可得： 图②
A' CAE 30 ，CA' CA 2， A'E 'C E 90 ·········6分
CAA' A' 30 ， A'E ' AE '
BAA' 60 30 30
BAA' A'
AB // A'E ·········7分
在 Rt A'E 'C中， A' 30
AE ' A'E ' A'C cos30 3，CE ' CA'sin 30 1 ·········8分
AA' 2 3
又 BPA CPA '
BPA∽ CPA ' ·········9分
A'P A'C 1
AP AB 2
A'P 1 2 3 AA'
3 3
4
S 1 1 2 3 3 A'PC A'P CE ' 1 ·········10 分2 2 3 3
(3) BP 2 3 1 4 3或 ·········12 分
3
在 Rt ABC中， B 30
CB AC 2 3
tan B
当 BPQ 90 时，如图③，CP CE ' 1
BP BC CP 2 3 1
图③
当 BQP 90 时，如图④， QPB 60
CPA ' QPB 60
又 A' 30
A'CB 90
在 Rt A'CP中， A' 30 ，CA' 2
CP CA' tan 30 2 3
3
图④
BP BC CP 4 3
3
3 2
23.解：（1）在 y x 2x 4中，
4
3 2
令 x＝0得 y＝ 4，令 y＝0得 x 2x 4 0
4
解得 x1＝ 4，x2＝ ，
4 3
4
∴A（ 4，0），B（ ，0），C（0， 4）， ............3 分
3
直线 AC 表达式为：y= x 4； ............4 分
（2）解法一：过 P作 PM∥y 轴交 AC 于点 M如图： ............5 分
3
依题得：P（m， m2 2m 4），则 M（m， m 4）
4
PM 3 3∴ m 4 ( m2 2m 4) m2 3m ............6 分
4 4
∵PM∥y，PD∥AC，
5
∴四边形 PMCD 是平行四边形， ............7 分
PM CD 3∴ m2 3m (m 2)2 3 ............8 分
4
∵-1＜0
∴当 m= 2 时，CD 最大为 3 ............9 分
解法二：∵PD∥AC，直线 AC 的表达式为 y= x 4；
∴设直线 PD 的表达式为 y= x+b
3 2 3 2
依题得：P（m， m 2m 4），代入上式得 m 2m 4 m b
4 4
3
解得：b m2 3m 4
4
3
y x m2 3m 4
4
x 3当 0时，y m2 3m 4
4
D（0 3， m2 3m 4）
4
CD 3 4 ( m2 3m 3 4) m2 3m (m 2)2 3
4 4
∵-1＜0∴当 m= 2 时，CD 值最大为 3
40
（3）m的值为 ..............12 分
9
6
