2022-2023学年湖北省宜昌市协作体高一（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则( )
A. B. C. D.
2. 的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知点在幂函数的图象上，则( )
A. B. C. D.
4. 方程的解所在区间是( )
A. B. C. D.
5. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
6. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
7. 已知函数，设，则( )
A. B. C. D.
8. 已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 的充要条件可以是( )
A. B.
C. D.
10. 设，且，则( )
A. B. C. D.
11. 如图，在中，，，分别是边，，上的中线，它们交于点，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
12. 函数在上有个零点，则( )
A. 的取值范围是
B. 在取得次最大值
C. 的单调递增区间的长度区间右端点减去左端点得到的值的取值范围是
D. 已知，若存在，，使得在上的值域为，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______ ．
14. 若与的夹角为，则向量在上的投影向量为______ ．
15. 已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
16. 在中，，，，平分交于点，，则的长为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，为锐角，．
求的值；
求的值．
18. 本小题分
已知，．
若与垂直，求的值；
若为与的夹角，求的值．
19. 本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若的周长为，且外接圆的半径为，判断的形状，并求的面积．
20. 本小题分
已知．
求函数的解析式；
若函数，求的单调区间．
21. 本小题分
月日，江苏银行宣布成为百度“文心一言”首批生态合作伙伴“文心一言”与国外的类似，是一种智能化的对话机器人，可以进行智能对话、回复问题、生成创作内容，还可以在对话过程中不断学习和优化相比此前的技术，在智能化上实现了一定的突破，其内容回复详细、清唽，且由于其具有很好的互动性，在商业应用上带来了充分的想象空间某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资、税务等支出合计万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元．
求证：；
要使第年年底企业的剩余资金超过万元，求整数的最小值；
22. 本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的解析式；
若关于的方程在区间上有相异两解，；
求：实数的取值范围；
的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以
故选：．
先求出集合，然后结合集合交集运算即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用诱导公式化简求值即可．
本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：点在幂函数的图象上，
，，且，
，，，
故选：．
由题意，利用幂函数的定义和性质，求得、的值，从而得出结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：构建函数，函数的定义域为
，函数在上为单调增函数
，
方程的解所在区间是
故选：．
先确定函数为单调函数，再用零点判定定理判断即可得出结论．
本题考查方程解与函数零点之间的关系，考查零点判定定理的运用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以，
令，得，
取，得曲线的一条对称轴的方程为．
故选：．
由函数图像的平移，求函数解析式，用整体代入法求对称轴方程，对选项进行判断即可．
本题考查了函数图像的平移规律和余弦型函数的对称轴，运算量不大，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，属于基础题．
由题意，在中利用正弦定理即可求得的值．
【解答】
解：由题意知，在中，，，，
由正弦定理得，解得．
处与地面目标的距离为千米．
故本题选B．
7.【答案】
【解析】解的定义域为，且，
所以为偶函数，，
又当时，单调递减，
由以及，
所以，
即．
故选：．
根据函数的奇偶性、单调性比较大小．
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，，是单位向量，
所以，即，
所以，解得，
又，
所以的取值范围为．
故选：．
将平方，结合题意可得，由此可得的范围．
本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：是的充要条件，A正确；
是的充要条件，B正确；
是的必要不充分条件，C错误；
由可得，取，可得，但无意义，
所以是的充分不必要条件．
故选：．
由已知结合特殊角的三角函数值分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，且，，解得，故A正确，
对于，，即，，故B错误，
对于，，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确，
对于，，且，
，当且仅当，时等号成立，故D错误．
故选：．
对于，结合不等式的性质即可求解，对于，结合指数函数的单调性即可求解，对于，结合基本不等式公式即可求解．
本题主要主要考查了不等式的性质，以及基本不等式的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由三角形重心性质得，
所以，A正确；
因为，B正确；
由重心性质得，，C错误；
因为，
所以，
即，D正确．
故选：．
由已知结合三角形的重心及向量的线性表示分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角形的重心及向量的线性表示，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数
，
在上有个零点，
当时，，所以，，故A错误；
由以上可得，在上取得次最大值，故B正确；
周期的单调递增区间的长度为，故C错误；
若存在，，使得在上的值域为，则，故D正确．
故选：．
由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的零点、最值、周期性，正弦函数的定义域和值域，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的零点、最值、周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据三角函数的性质可得，在区间上单调递增，
又在区间上单调递增，
则，
则的取值范围为．
根据三角函数的单调性可解．
本题考查三角函数的单调性，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，与的夹角为，
，则向量在上的投影向量为．
故答案为：．
根据条件可求出，然后根据投影向量的计算公式即可求出在上的投影向量．
本题考查了向量数量积的计算公式，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：定义域为，，为上奇函数，
为上的减函数，，为上的增函数，为上的减函数，
由得：，
，．
则实数的取值范围是．
故答案为：．
利用单调性可得自变量的大小关系，即可解不等式得结果．
本题考查函数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意，得：，
则，
即，
解得，
故AB，，
由余弦定理，得，
所以．
故答案为：．
由题意，利用三角形的面积公式可求的值，进而可求，的值，根据余弦定理即可求解的值．
本题考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：因为，为锐角，
所以，
所以；
因为，
又为锐角，
所以，
所以．
【解析】由已知先求出，然后结合二倍角公式可求；
由诱导公式先求出，进而可求，再由两角差的余弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：，，
，
与垂直，
，解得；
，，，
，
，
又，则．
【解析】求出，根据与垂直，建立关于的方程，解出即可；
求出，利用向量的夹角公式直接得解．
本题考查平面向量的坐标运算，考查两向量垂直的条件以及向量夹角的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：由题意，
由正弦定理得，
因为，
所以，因为，所以，
所以，又，所以；
设外接圆的半径为，则，
由正弦定理得，
因为的周长为，所以，
由余弦定理得，
即，所以，
由得，所以为等边三角形，
所以的面积 ．
【解析】由正弦定理及三角形的性质即可求角；
利用正弦定理求出边长，然后再根据周长和余弦定理列式解出和，从而判断性质和求解面积．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程思想，属中档题．
20.【答案】解：因为，
可设，则，所以，
所以；
由，
令，解得或，
所以函数的定义域为，
设，则，
当时，单调递减，函数单调递增，
所以在上单调递减；
当时，单调递增，函数单调递增，
所以在单调递增；
所以的单调增区间为，单调递减区间为．
【解析】设，利用换元法即可求函数的解析式；
求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性求单调区间．
本题考查了求函数的解析式以及判断复合函数的单调性问题，是中档题．
21.【答案】证明：由题意得，，
所以，
即，
又，
．
解：由知是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
，即，
，
又，，的最小值为．
【解析】由得意，整理得，即可证得结果；
由知是以为首项，为公比的等比数列，则，由题意，即，求解即可．
本题考查了函数与数列的综合问题，属于中档题．
22.【答案】解：
，
的最小正周期为，
，解得，
故；
，即，
关于的方程在区间上有相异两解，，
则函数与的图象在区间上有两个交点，
，
，
在上单调递增，在上单调递减，且，
在上的图象如图：
由图象可知，若函数与的图象在区间上有两个交点，
则，
故实数的取值范围为；
由和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则，解得，
故．
【解析】根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可得到函数的解析式；
将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得的范围，
由正弦函数的对称性即可得到的值．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
第1页，共1页
