四川省重点中学2021级高二下期半期考试
数学(理)试题
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．已知命题，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2. “”是“”的（ ）条件
充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要
现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L），与直径d（单位：dm）的关系式为，当时，估计该气球体积的瞬时变化率为( )
B. C. D.
4. 函数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知p:若在单调，则, q:，则下列命题是真命题的是（ ）
A. B . C. q D. q.
6．函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
函数在处取得最小值
是函数的极值点
在区间上单调递增
在处切线的斜率大于零
7. 下面说法正确的有 ( )个
①
②若 <
③命题“ 若，则” 的否命题为真命题
④“若m”的逆否命题为真命题
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
8. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
已知函数=在（1,2）上不单调,则a的取值范围为（ ）
A .(2, 8) B.[2,8] C. D.[2,8)
10. 若定义在上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
11. 已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数存在唯一的极值点,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知为虚数单位，若复数满足，则______.
14．若命题“，使得”为假命题，则实数m的取值范围是_______
15. 直线)与函数f(x)的图像分别交于点A,B，则|AB|的最小值为_____
16．已知函数，满足恒成立，则实数的取值范围为_______
三．解答题（17题10分，其余个各题各12分，共70分）
17．已知命题:实数x满足<0；命题:实数x满足
（1）若a=1,命题为真命题,求实数x的取值范围;
（2）若的充分不必要条件，求实数a的取值范围
已知函数在处取得极大值为1
(1)求在x=1处的切线方程；
(2)判断的零点个数，并说明理由
19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于，两点.
(1)求曲线的极坐标方程及点的极坐标；
(2)若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于，两点，求的面积.
20.已知．
(1)若，解不等式；
(2)当时，的最小值为3，若正数m，n满足，证明：．
21．设函数.
(1)作出函数的图象，并求的值域；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
22.已知函数.
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，，求实数的取值范围．
数学(理)试题答案
AACAC BBDAD AA
， [2,6], +ln2,
16. 设，
则，
所以在上为增函数，，
当，即时，，
从而在上为增函数，
所以恒成立；
（2）当，即，令，则.
又，所以，使得，
从而在上为减函数，当时，，不合题意
故，
(1)
(2)
18.
,
故，函数有三个零点
19（1）由消去参数，得，即，
由代入可得
曲线的极坐标方程为.
令，则，故点的极坐标为；
（2）令，则，
故的面积.
20 （1）当时，不等式为，
当时，可以化为，解得；
当时，可以化为，得，不等式不成立；
当时，可以化为，解得；
综上,可得不等式的解集为.
（2）当时，
当时等号成立，由可得（舍）或，故,
由柯西不等式可得
，即得
当且仅当时，即时取等号．
21【详解】（1）已知，
则
则的图象如图所示：
由的图象可知的值域为.
（2）由，解得,或,
由，解得.，如下图，
若存在，使得不等式成立，
则由图象可知，，解得
求实数的取值范围.
22 【详解】（1）解：当时，，则．
令，其中，
则，则在上单调递减．
故当时，，
所以在上单调递减．
（2）解：由（1）可知当且当时，函数在上为减函数，
此时，，
则当时，，满足题意；
由，化简可得，
令，其中，则．
当时，若，则，在上是减函数，
所以当时，，不符合题意．
当时，，则在上是减函数，此时，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为.
