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湖北省2023年高考冲刺模拟试卷
数学试题（二）
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．设(为虚数单位)，则复数的虚部为
A． B． C． D．
3．在二项式的展开式中二项式系数最大的项为第五项，则展开式中含项的
系数为
A． B．28 C．224 D．112
4．鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和
权力的象征．图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的
方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹
煮物的部分，四边形是矩形，其中
cm，cm，则这个
方鼎一次最多能容纳的食物的体积（不计厚度）为
A． B．C． D．
5．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，
则实数
A． B． C． D．
6．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为
A． B． C． D．
7．已知，，，则
A． B． C． D．
8．已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题， 每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某小学共有1200名学生，为了解学生课外阅读的情况，随机统计了100名学生的一个学期
课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方
图如图所示，则下列结论正确的是
A．
B．该学期课外阅读时间在中的学生约有360名
C．该学期课外阅读时间的众数为112.5
D．估计该学期课外阅读时间的第60百分位数为112.5
10．如图，在四棱锥中，平面，，，
底面是直角梯形，，，则下列结论中正确的是
A．平面
B．四面体的外接球表面积为
C．与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．抛物线：上一点到焦点的距离为3，为抛物线的准线
与轴的交点，直线：与抛物线交于，两点，则下列
说法正确的是
A． B．的最小值为4
C．若，则的面积为 D．若，则直线的斜率为
12．定义在R上的函数满足，当时，，则
A．时，
B．
C．有个零点
D．若对，都有，则的取值范围是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若向量，，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ．
14．写出与圆和圆都相切的一条直线的方
程为_______．
15．已知函数，将函数的图象向左平移个单位，得到
函数的图象，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数
根，实数的取值范围是 __________．
16．已知、分别为椭圆的左、右顶点，直线与椭圆交于
两个不同的点、，设直线、的斜率分别为、，则当
取最小值时，椭圆的离心率为 __________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，且
．
（1）求角的大小；
（2）如图，在外取点，使得，
，，求四边形面积的最大值．
18．（12分）已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，，设数列的前项
和，求证：．
19．（12分）如图，在平行六面体中，，，
，，在上，且满足．
（1）求到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（12分）近几年我国新能源汽车产业发展迅速．某机构调查了该省100位购车种类情况，
得到的部分数据如下表所示：
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 合计
男性车主 45
女性车主 45
合计 25 100
（1）请将上述列联表表格补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能
否认为购车车主购置新能源汽车是否与性别有关联？
（2）为了让更多车主了解新能源汽车，该机构举办新能源汽车交流会，从这100车
主中筛选出5名男车主和4名女车主，其中有3名男车主和2名女车主购置了
新能源汽车．现从这9名车主中任选3名男车主和2名女车主参加交流会，记
为参加交流会的5人中购置新能源汽车的人数，求的分布列及数学期望．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
，其中．
21．（12分）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，渐近
线的方程为，点，的面积为，是双曲线右支上
任意一点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点为的中点（为坐标原点），过且平行于的直线交双曲线
于，两点，是否存在实数，使得？若存在，求出的
值，若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数.
（1）当时，设的最小值为，求证：；
（2）设函数，若在上恒成立，求整数的
最大值.湖北省2023年高考冲刺模拟试卷
数学试题（二）参考答案
一、单项选择题，二、多项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D B A C D A BCD BC AC ABC
三、填空题
13． 14．（填其中任何一条都可） 15． 16．
1．B
【解析】，，所以，故选B．
2．C 【解析】，故选C．
3．D
【解析】由题意可得，所以展开式中含项的系数为．
故选D．
4．B
【解析】在等腰梯形中，，，，可得，
所以四棱台的体积
．故选B ．
5．A
【解析】由，可得，解得．
故选A．
6．C
【解析】共有种选法，先考虑4个点不能构成三棱锥即4个点共面的情况，共有
种选法，所以4个点能构成三棱锥的概率为，故选C．
7．D
【解析】因为，而，
所以，即，所以，故选D．
8．A
【解析】设，，则，，
，令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即．令，，
所以，，，，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以，即，
由题意，则，即，所以 ，解得
，，故，故选A．
9．BCD
10．BC
【解析】以点坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，
，，，，则
，所以与不垂直，故A错误；取
的中点，连接，可得，所以为四面
体的外接球的球心，所以，故四面体的外
接球表面积为，故B正确；设与所成角为，
则，故C正确；设平面的法向量
，则，取，则，
设直线与平面所成角为，则，
故D错误．故选BC．
11．AC
【解析】由题意可得，可得，所以，故A正确；
可得抛物线的方程为，直线的方程为，联立
得，所以，，，
，所以
，故B错误；因为，所以，到直
线的距离，所以的面积为
，故C正确；因为，所以，
，又，可解得 ，，因为，所以
，故D错误．故选AC．
12．ABC
【解析】当时，，所以
，故A正确；
因为，，
所以，故B正确；因为，而直线
过点与，由图象知C正确；由A可得，当时，
，令，解得或，因为对任意
，都有，则，故D错误．故选ABC．
13．
【解析】．
14．（填其中任何一条都可）
【解析】圆化为标准方程得，圆化为标准方程得
，因为，可知两圆的公切线与直线平行，所以公切
线的斜率，设公切线的方程为，则有 ，
解得，故两圆公切线的方程为.
15．
【解析】由题意可得，又，则有
或，因为，所以，
要使关于的方程在区间上有且仅有四个不同的实数根，则
，解得，所以实数的取值范围．
16．
【解析】设，则，，则，
．又，，，，
，，
令，则，，
在上为减函数，在上为增函数．可知当，即时，
函数取得最小值．，即，．
17．解：（1）因为，由正弦定理可得
， 整理可得，（3分）
所以，（4分）因为，可得．（5分）
（2）在中，，由正弦定理得，所以，
所以．（6分）
在中，，
化简得，即，（8分）
，（9分）
所以四边形的面积最大为．（10分）
18．解：（1）设等差数列的公差为，因为，
所以（2分）即，解得，，（4分）
所以．（5分）
（2）由（1）可得，（6分）
则当时，
，易知满足上式，所以，（9分）
所以，则
．（12分）
19．证明：（1）如图，连接，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以，所以，（2分）
在中，，，，所以，
所以，又，平面,所以平面,
又平面，所以平面平面．（4分）
取的中点，连接，则，因为平面平面且交于，
所以平面，又因为平面，所以到平面的距离
即为，而，所以到平面的距离为．（6分）
（2）解：以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
， 则，，，，，
所以，，，
．（7分）
设平面的法向量为，则
令，得．（9分）
设平面的法向量为，则
令，得，（11分）
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．（12分）
20．解：（1）列联表如下：
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 合计
男性车主 45 10 55
女性车主 30 15 45
合计 75 25 100
零假设为：购车车主购置新能源汽车是否与性别无关联．根据列联表中的数据，
可得，（4分）
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为购车车主购置新能
源汽车是否与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过．（5分）
（2）设参加的交流会的5人中购置新能源汽车的男车主人，女车主人，则，
根据已知条件可得1， 2，3，4，5， ，
，
，
，
，（10分）
所以的分布列为
1 2 3 4 5
．（12分）
21．解：（1）由题意得，，又，解得，
，所以双曲线的标准方程为．(4分)
（2）由题意知的斜率一定存在，设直线的方程为，，，
由消去整理得，，
，，(5分)
则
．(8分)
因为，所以直线的方程为，由消去整理得
，，设， 则可得，所以
，（10分）
所以．所以存在，使得成立．（12分）
22．解：（1）当时，，由于，，
故存在，使得，（2分）
因为在递增，所以当时，，递减；
当时，，递增，
所以，（4分）
设，，，故在递减，
，所以．（5分）
（2）由题意可知，在上恒成立，
可化为在上恒成立，设，则
，（6分）
设，则，所以在上单调递增，
又，，
所以方程有且只有一个实根，且，，（8分）
所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，
所以函数的最小值为，（10分）
从而，又为整数，所以的最大值为．（12分）
