济洛平许2022—2023学年高三第四次质量检测
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数z满足 且是纯虚数,则z=
A.-i B. i C.±i
2. 全集 ,, 则
A.{1,3,7,9} B.{1,7,9} C.{3,7,9} D.{7,9}
3. 若实数满足约束条件 则的最小值是
A.0 B.-3 C.-6 D.-9
4. 2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息1.72亿件.下面是2021年、2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中错误的是
A.2022年比2021年平均每月举报信息数量多
B.举报信息数量按月份比较，8月平均最多
C.两年从2月到4月举报信息数量都依次增多
D.2022年比2021年举报信息数据的标准差大
5. 下述四个结论：
①命题“若,则”的否命题是“若,则 ”;
②是的必要而不充分条件;
③若命题与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；
④命题“”的否定是“”
其中所有正确结论的序号是
A.①② B.②③ C.④ D.②③④
6. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更.最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为
7. 已知是定义在上的奇函数,且满足,当则=
A.0 B. ln3 C.1 D.ln2
8. 已知数列{满足 则 =
A.2023 B.2024 C.4045 D.4047
9. 在正方体中,分别为,的中点,过三点的平面截正方体所得的截面形状为
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D、三角形
10. 已知 则的大小关系是
A. B.
C. D.
11. 为抛物线Γ:上任意一点，为抛物线的焦点.如图,(4,2),的最小值为5.若直线与抛物线交于点，则外接圆的面积为
A.4π B.8π
C.9π D.10π
12. 若函数在上存在两个零点，则的取值范围是______________.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 双曲线 的两条渐近线为，左焦点为，若点关于直线的对称点恰在直线上,则双曲线的离心率为 .
14. 已知向量 若, 则 .
15. 已知等差数列{的前n项和为是等比数列且 数列{}的前项和为、若 则 = .
16. 已知正四棱锥的底面边长为2 ，高为，且，该四棱锥的外接球的表面积为,则的取值范围为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17. (12分)
4月15日是全民国家安全教育日.以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.只有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础.作为知识群体的青年学生，是强国富民的中间力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团随机抽取了600名学生，发放调查问卷600份(答卷卷面满分100分).回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间.同时根据560份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数和平均数(同一组数据用该组中点值代替).
(2)如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根据上述数据，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关.
附：独立性检验临界值表
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
公式： 其中.
18. (12分)
△ABC的内角的对边分别为已知
(1)求;
(2)若是直线外一点, 求△面积的最大值.
19. (12分)
如图,四边形为菱形,⊥平面,, = =2 .
(1)证明:平面⊥平面;
(2)记三棱锥的体积为,三棱锥的体积为，求
20.(12分)
椭圆 的短轴长为2，离心率为 过点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在点,使得直线与直线分别交于点且 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21. (12分)
已知函数
(1)求的单调区间;
(2)若:,.且 , 求证:
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为 曲线的交点为
(1)求和的直角坐标方程；
(2)圆经过三点,过原点的两条直线分别交圆于和四点,求证:.
23. [选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数的最小值为,的最小值为.实数满足
(1)求和;
(2)证明:
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文科数学参考答案
一、选择题:BDCDB CACBC DA
二、填空题:13.2 15.538 16.[16π,25π]
三、解答题：
17. 解:(1)因为10m=1-10×(0.003+2×0.006+0.009+2×0.012+2×0.016),
所以m=0.02. ………………………2分
又因为(x-60)×0.02=0.04,所以x=62. ………………………4分
……………………6分
高敏感 低敏感 总计
男生 80 160 240
女生 80 240 320
总计 160 400 560
(2)
……………………8分
………………11分
故有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关. ………12分
18. 解:(1)由得由正弦定理得
.所以. ……4分
又因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以 所以 ……………………6分
(2)由 得 故
因为B∈(0,π),所以 所以 ……………………7分
可得 ……………………8分
设,在△中, 由余弦定理可得
………………………9分
所以,所以(当且仅当时取等号). 10分
所以 ……………………11分
故△BMC面积的最大值为 ……………………12分
19. (1)证明:设交于点,连接,因为四边形为菱形,所以.
因为平面, 平面,所以.
又,所以⊥平面;所以. … …………………2分
设,由题意得
因为,所以⊥平面,所以
因为,所以. ………………………4分
因为,所以平面 …………………5分
又 平面,所以平面⊥平面. ………………………6分
(2)由(1)可知⊥平面,所以,由(1)所设可知
因为⊥平面,所以 ……………8分
由(1)可知平面,所以⊥平面.又
所以 …………………11分
所以 ……………………12分
20. (1) b=1,则 所以椭圆C的方程为 …………4分
(2)当l斜率不为0时,设=ny+3,联立 分
设
则 ………………………6分
直线 令得
……………………7分
同理可得 …………………8分
于是
若 则由,与直线的任意性矛盾; …………………9分
若 则.
……………11分
所以点Q的坐标为或(当l斜率为0时也成立). ……………………12分
21. 解:(1)对函数求导可得: ………………………1分
令 则
当x∈(0,1)时, 单调递减,x∈(1,+∞)时, 单调递增 ………2分
所以 所以在单调递增. ……………3分
故的单调递增区间是：，无递减区间. ………………………4分
(2)由题意得:
则 ………………………5分
设 可得 ……………………6分
欲证 ,即证 ………………………7分
只需证 ………………………8分
设 ………………………9分
则 在上,单调递减,
所以所以
从而，命题得证. ………………………12分
22. 解：(1)曲线的极坐标方程为 根据公式可得:,所以曲线直角坐标方程为： ………………………2分
曲线的参数方程为 (为参数),即: 又 所以曲线的普通方程为 …………………5分
(2)曲线的交点为 点的坐标为(-2,0). …………………………6分
圆的方程为：. 其极坐标方程为 . …………………7分
设直线的极坐标方程分别为
分别代入圆的极坐标方程 得,
所以有 ……………………10分
23. 解:(1)函数的最小值为. ………………2分
函数 ……………………3分
函数在(-∞,0]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,f(0)=1, ……………………4分
所以函数的最小值为=1. ………………………5分
(2)由(1)知. ………………………6分
因为
所以 ………………………7分
又因为 …………………8分
所以 又
所以 ,所以 ……………………9分
所以 ……………………10分
