北山中学校2022-2023学年高二下学期第十一次测试数学试题
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.函数在点处的切线方程，则等于( )
A. B. C. D.
2.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. 和 D.
3.若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.甲、乙两类产品的质量单位：分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 甲类产品的平均质量小于乙类产品的平均质量
B. 乙类产品的质量比甲类产品的质量更集中于平均值左右
C. 甲类产品的平均质量为
D. 乙类产品平均质量的方差为
5.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为( )
A. B. C. D.
6. 年月日是第七个“国家宪法日”某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为用事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知随机变量服从二项分布，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意的，，且，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分。）
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量的概率分布列为P(=k)=ak(k=1,2,3,4,5)，则a=
B. 若随机变量X~N(3,),P(X5)=0.7,则P(X1)=0.3
C. 若随机变量X~B(8,)，则D(X)=
D. 在含有4件次品的10件产品中，任取件，表示取到的次品数，则P(X=2)=.
10.已知随机变量的分布列为
则( )
A. B. C. D.
11.有甲、乙、丙等名同学，则说法正确的是( )
A. 人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为
B. 人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为
C. 名同学平均分成三组到、、工厂参观每个工厂都有人，则有种不同的安排方法
D. 名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有种
12.关于函数，下列判断正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有个零点
C. 对不等式在上恒成立
D. 对任意两个正实数，，且，若，则．
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知曲线在点处的切线方程为，则点的坐标为_________
若展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为 ________用数字作答
15.如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，则事件“质点位于的位置”的概率为_________
16.已知函数若则的最大值为_________
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（满分10分）已知展开式中第项和第项的二项式系数相等．
求的值；
求展开式中的常数项．
18.（满分12分）已知函数．
当时，有极小值，且极小值为，求函数的解析式；
在的条件下，求函数在上的最大值和最小值．
19.（满分12分）为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了名女生和名男生共名优胜者赛后，名同学站成一排，照相留念．
女生必须站在一起的站队方式有多少种
男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种
现在要求这名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案
20.（满分12分）有一名高二学生盼望年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：年月通过考试进入国家数学奥赛集训队集训队从年月省数学竞赛一等奖中选拔：年月自主招生考试通过并且达到年月高考重点分数线，年月高考达到该校录取分数线该校录取分数线高于重点线，该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表．
省数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线
若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按、顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取
求该学生参加自主招生考试的概率；
求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望；
求该学生被该校录取的概率．
21.（满分12分）某厂新开设了一条生产线，生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检件产品，监测各件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：
求上表数据的平均数和方差；
若认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布如果出现了之外的零件，就认为生产过程出现了异常，需停止生产并检查设备．
下面是另一天抽检的核心指标数据：
用中的平均数和标准差作为和的估计值和，利用和判断这天是否需停止生产并检查设备；
假设生产线状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，．，．．
22.（满分12分）已知函数，其中，是自然对数的底数．
（1）当时，证明：对；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．北山中学校2022-2023学年高二下学期第十一次测试数学试题
参考答案
1.【答案】D
【解析】由题可知：，
，
故选：．
2.【答案】D
【解析】由题意，得：．
，由，得，即，解得：；
函数的单调递增区间是．
故选：．
3.【答案】C
【解析】令，则，
令，则．
所以，
故选C
4.【答案】A
【解析】由图象可知甲的正态曲线关于直线对称，乙的正态曲线关于直线对称，
所以甲类水果的平均质量 ， 乙类水果的平均质量，故C错误
，故A正确
由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B错误．
结合乙类的图像可知，，故，故D错误
故选A．
5.【答案】B
【解析】设“第次投球进”为事件，“第次投球进”为事件，
则
，
故选B．
6.【答案】D
【解析】依题意，，
．
故选D．
7.【答案】A
【解析】由随机变量服从二项分布．
又，，解得．
故选：．
8.【答案】B
【解析】解：，
，，
，即在上单调递增，
在上恒成立，即在上恒成立，
构造函数，则，
令，则，此时函数单调递增，令，则，此时函数单调递减；，即．
故选B．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A随机变量的概率分布为P(=k)=ak(k=1,2,3,4,5),
P(=1)+P(=2)+P(=3)+P(=4)+P(=5)=1,
a+2a+3a+4a+5a=15a=1,
a=,故A不正确;
对于B，P(X>5)=1-P(X5)=0.3，P(X≤1)=P(X>5)=0.3，故B正确；
对于C，由X~B(8,)，得，故C错误；
对于D，由题意，得，故D正确.
故选BD.
10.【答案】AC
【解析】由，得，
则．
11.【答案】ACD
【解析】甲、乙不相邻，先排剩下人，有种方法，产生个空，甲、乙插空有种方法，共有种方法，故A正确；
B.个人站成一排的所有站法有种，其中包括了，甲、乙、丙三人的所有站队顺序，甲、乙、丙三人站队的方法数恰好是，
因此，甲、乙、丙三人按照从左向右的顺序站队的站法一共有种，故B错误；
C.名同学平均分成三组有种分法，再到个不同工厂，有一共种分法，故C正确；
D.名同学甲、乙、丙在一起存在两种情况，
当甲乙丙人一组，分成三组有种分法，
当甲乙丙人和另外一人一组，分成三组有种分法，
再参加不同的活动则有种分组方法．
故选ACD．
12.【答案】BC
【解析】、，
令，解得，令，解得，
在上函数单调递减，在上单调递增，
是函数的极小值点，无极大值点，故A错误．
B、，
，
该函数在上单调递减，
且当时，，时，，
函数有且只有个零点，即B正确．
C、由，，可得，
令，则，
令，则，
时，，
在上单调递减，
，，
在上函数单调递减，
， ；
因此，对不等式 在上恒成立，故C正确．
D、由前面结论可知在上函数单调递减，在上单调递增，
若对任意两个正实数，，且，，
则，，
，
设，，
，
在上单调递减，
，
，在时恒成立，
即，即，
，，在上单调递增，
，即，故D错误．
故选BC．
13.【答案】
【解析】设点的坐标为，
因为，
则
，
由题意得，解得，
所以点的坐标为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得：，解得
的展开式通项为：，
令，解得
展开式中的项的系数为
15.【答案】
【解析】设质点向右移动一次的事件为， 则．
因为质点每次等可能地向左或向右移动一个单位，移动次后位于的位置，
所以质点向右移动次，向左移动次，
因此事件“质点位于的位置”的概率为．
16.【答案】
【解析】不妨设，
，
，即有，，
故，
令，，
易知在上是增函数，且，
当时，，当时，，
即当时，取得极小值同时也是最小值，
此时，
即的最小值为，所以的最大值为 ，
故答案为：．
17.【答案】
解：由题意得，所以．
的展开式通项为
，
令，解得，
所以展开式中的常数项为．
【答案】
解：，．
由 得
解得所以；
，，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减．
，，，
所以最大值为，最小值为．
19.【答案】
解：先排女生：，
再将女生看做一个整体与男生一起排列：
根据分步乘法计数原理得，总的站队方式有：种．
（2）法一：个男生都不相邻的方法有：种，
只有其余两个男生相邻的有：种，
所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种．
法二：先排男生甲与个女生有种，
再排第二个男生，有种方法，
再排第三个男生，有种方法，
根据分步乘法计数原理得，总的站队方式有：种．
先将个女生分成三组，有种方法，
再将三组女生分到三个年级有种，
再将三组男生分到三个年级有种，
根据分步乘法计数原理，所有情况共种．
20.【答案】
解：设学生数学竞赛获省一等奖，参加国家集训队的事件分别为、，
则，
则该学生参加自主招生考试的概率为，
即该学生参加自主招生考试的概率为；
该学生参加考试的次数的可能取值为，，，
，
，
，
；
设该生自主招生考试通过且高考达重点分数录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件为、，
，，，
所以该学生被该校录取的概率为．
21.【答案】
解：由数据表，得，
．
由可知，
所以，，
表中第个数据，故这天需停止生产并检查设备．
(ⅱ)抽取一个零件尺寸在之内的概率为，
所以抽取一个零件其尺寸在之外的概率为，
故，
所以．
的数学期望为．
22.【答案】
证明：当时，，，
当时，，且，
所以当时，，且时，，
函数在上单调递增，，
所以，对．
解：法一：若函数在上存在极值，
则在上存在零点．
当时，为上的增函数，
，，
则存在唯一实数，使得成立，
当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数，
所以为函数的极小值点；
当时，在上恒成立，
函数在上单调递增，在上无极值；
当时，在上恒成立，
函数在上单调递减，在上无极值．
综上知，使在上存在极值的的取值范围是．
法二：若函数在上存在极值，
则在上存在零点，
令，则
令，
方程在上有实根，
即函数与函数在上有交点．
由，得，
显然，，在上单调递减，
则，
所以，当时，与有交点，的取值范围是．
即当时，存在唯一实数，使得成立，
当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数，
所以为函数的极小值点．
综上知，函数在上存在极值，的取值范围是．
