第十三章 轴对称 综合素质评价
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【2023·广州第十六中学期末】下列图形中，不是轴对称图形的是( )
2．【2023·佛山禅城区明德中英文学校月考】在平面直角坐标系中，点P(－1，－2)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(1，－2) B．(－1，2) C．(2，－1) D．(－1，－2)
3．【2023·广州番禺区恒润实验学校期中】等腰三角形的顶角为50°，则底角的度数是( )
A．50° B．65° C．70° D．75°
4．【2022·汕头期末】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE＝20°，则∠DCE等于( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，中线AD与角平分线CE相交于点F，已知
∠ACB＝40°，则∠AFC的度数为( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
6．【2023·广州第七中学期中】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝40°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，∠BCD的度数为( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
7．【母题：教材P65习题T6】如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝4 cm，△ABD的周长为22 cm，则△ABC的周长为( )
A．26 cm
B．28 cm
C．30 cm
D．32 cm
8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，－2)，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．【2023·汕尾海丰县期中】如图，OE为∠AOB的平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线OE，OB上的动点，则PC＋PB的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10. INCLUDEPICTURE "../../推理能力.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../推理能力.EPS" \* MERGEFORMAT \d 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为( )
A．16 B．32 C．64 D．128
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝________．
12．【2023·广州荔湾区期末】如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，垂足为点E，交AB于点D，连接CD，若∠B＝30°，CD⊥BC，CD＝3，则AB的长为________．
13．【2022·梅州期中】如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为________．
14．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交CA的延长线于点F，AC＝5，BD＝3，则AF的长为________．
15. INCLUDEPICTURE "../../模型意识.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../模型意识.EPS" \* MERGEFORMAT \d 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为________．
三、解答题 (一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．【2023·江门蓬江区期中】如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，
∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由．
INCLUDEPICTURE "../../23秋+59.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../23秋+59.EPS" \* MERGEFORMAT \d
17．【2022·揭阳期中】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC于点D, E是AB上一点，且BE＝CD，求∠ADE的度数．
INCLUDEPICTURE "../../23秋+60.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../23秋+60.EPS" \* MERGEFORMAT \d
18. 【2023·东莞期末】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．
(1)在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标；
(2)求△A1B1C1的面积．
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．【2023·广州番禺区香江育才实验学校期末】如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F.若ED⊥AB于点D，DF⊥AC于点F，FE⊥BC于点E，且AB＝8，求CE的长．
20．如图，在△ABC中，DA＝DC.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点G，连接AF；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若△DAF的周长是16 cm，求BC的长．
21．【2022·东莞期末】如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若CE＝16，BE＝21，求AE的长．
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．【母题：教材P83复习题T12】如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；
(2)若线段AN与线段BM交于点O，求∠AOM的度数；
(3)若AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于点D，交BE于点P.
(1)直接写出图中除△ABC外的所有等腰三角形；
(2)求证：BD＝PC；
(3)点H，G分别为AC，BC边上的动点，当△DHG的周长取最小值时，求∠HDG的度数．
答案
一、1.A 2.B
3．B 【点拨】∵等腰三角形两底角相等，顶角为50°，
∴底角的度数为(180°－50°)÷2＝65°.
4．B 【点拨】∵△ACE为等边三角形，
∴∠ACE＝∠CAE＝60°.
∵AB∥CD，∴∠DCA＋∠CAB＝180°，
∴∠DCE＋∠BAE＝180°－60°－60°＝60°.
∵∠BAE＝20°，∴∠DCE＝40°.
5．B 【点拨】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°－40°－40°＝100°，
易得∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＝50°.
∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ACB＝20°，
∴∠AFC＝180°－∠CAD－∠ACF＝180°－50°－20°＝110°.
6．B 【点拨】∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝40°.
∵B′D∥AC，∴∠ADB′＝∠A＝40°.
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝×[360°－(180°－40°)]＝110°，
∴∠BCD＝180°－∠B－∠CDB＝180°－40°－110°＝30°.
7．C 【点拨】由题意得MN垂直平分AC，
∴DA＝DC，CE＝AE＝4 cm.
∵△ABD的周长为22 cm，∴AB＋BD＋AD＝22 cm，
∴AB＋BD＋DC＝22 cm，即AB＋BC＝22 cm，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝22＋4×2＝30(cm)．
8．D
9．A 【点拨】如图，过点B作BD⊥OA于点D，交OE于点P，过点P作PC⊥OB于点C，
∵OE为∠AOB的平分线，∴DP＝CP，
∴PB＋PC＝PD＋PB＝BD，此时PC＋PB的值最小．
∵∠AOB＝30°，OB＝6，∴BD＝3，即PC＋PB的最小值是3.
INCLUDEPICTURE "../../23秋d+9.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../23秋d+9.EPS" \* MERGEFORMAT \d
10．C 【点拨】∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2－∠MON＝60°－30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22·OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23·OA1，….
∴AnBn＝AnAn＋1＝2n－1·OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长为26＝64.
二、11.90° 【点拨】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∵∠A＝60°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝90°.
12．9 【点拨】∵DE是△ABC的边AC的垂直平分线，
CD＝3，∴AD＝CD＝3.
∵∠B＝30°，CD⊥BC，∴BD＝2CD＝6，∴AB＝AD＋BD＝9.
13．3 【点拨】∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2.
∵BD是AC边上的高，∴AD＝CD＝AC＝1，
∴CE＝CD＝1，∴BE＝BC＋CE＝2＋1＝3.
14．2 【点拨】∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B＋∠BDE＝90°，∠C＋∠F＝90°.
∵∠B＝∠C，∴∠F＝∠BDE.
∵∠FDA＝∠BDE，∴∠FDA＝∠F，∴AF＝AD.
∵∠B＝∠C，AC＝5，∴AB＝AC＝5.
∵BD＝3，∴AD＝AB－BD＝5－3＝2，∴AF＝2.
15．15 【点拨】连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点，
∴AD⊥BC，CD＝BC，
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×AD＝36，解得AD＝12.
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
∴CM＋MD＝AM＋MD≥AD，
∴AD的长为CM＋MD的最小值，
∴△CDM周长的最小值为(CM＋MD)＋CD＝AD＋BC＝12＋×6＝12＋3＝15.
三、16.【解】△OEF为等腰三角形．理由如下：
∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF与△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(SAS)．∴∠AFB＝∠DEC.
∴OE＝OF，即△OEF为等腰三角形．
17．【解】∵AB＝AC，∠BAC＝80°，∴∠B＝∠C＝50°.
又∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADB＝90°.
∵BE＝CD，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝65°，
∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝25°.
18．【解】(1)如图，A1(3，4)，B1(5，2)，C1(2，0)．
INCLUDEPICTURE "../../23秋d+11.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../23秋d+11.EPS" \* MERGEFORMAT \d
(2)S△A1B1C1＝3×4－×3×2－×2×2－×1×4＝12－3－2－2＝5.
四、19.【解】∵ED⊥AB，DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠EDB＝∠FEC＝∠DFA＝90°.
∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE＝30°，
∴∠FDE＝∠DEF＝∠DFE＝60°，CF＝2CE，
∴△DEF是等边三角形，∴DE＝EF.
在△DEB和△EFC中，
∴△DEB≌△EFC(AAS)，∴BE＝CF＝2CE.
∵AB＝BC＝BE＋CE＝8，∴CE＝.
20．【解】(1)如图．
(2)∵GF垂直平分AB，∴BF＝AF.
∵DA＝DC，∴BC＝BF＋FD＋DC＝AF＋FD＋DA.
∵△DAF的周长是16 cm，
∴BC＝16 cm.
21．(1)【证明】∵△ACB和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∵∠ACD＝∠ACB－∠DCB，∠BCE＝∠DCE－∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)【解】∵△ACD≌△BCE，BE＝21，∴AD＝BE＝21.
∵△ECD是等边三角形，CE＝16，∴DE＝CE＝16，
∴AE＝AD＋DE＝21＋16＝37.
五、22.【解】(1)AN＝BM，证明：
∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，∴∠ACN＝∠MCB.
在△ACN和△MCB中，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，∴AN＝BM.
(2)由(1)得△ACN≌△MCB，∴∠ANC＝∠MBC，
∴∠AOM＝∠CAN＋∠MBC＝∠CAN＋∠ANC＝∠BCN＝60°.
(3)△CEF是等边三角形，
证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMF.
∵∠MCF＝180°－∠ACM－∠BCN＝60°，
∴∠ACE＝∠MCF.
在△ACE和△MCF中，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.
∵∠MCF＝60°，∴△CEF是等边三角形．
23．(1)【解】△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形．
(2)【证明】如图，在线段AD上取点H，使DH＝DB，连接CH.
∵AB＝AC，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°.
∵DH＝DB，CD⊥BH，
∴CD垂直平分BH，∴BC＝CH，
∴∠BHC＝∠ABC＝67.5°.
易知∠BEC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BHC＝∠ABC＝∠BEC＝∠ACB.
又∵BC＝CB，
∴△BCH≌△CBE，∴BH＝CE，
易知CE＝CP，∴BH＝CP.
∵BD＝DH＝BH，∴BD＝PC.
(3)【解】如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于直线AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长取得最小值．
INCLUDEPICTURE "../../23秋d+14.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../23秋d+14.EPS" \* MERGEFORMAT \d
∵∠ABC＝67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°－∠ABC＝22.5°.
∵DM⊥CB，
∴∠CDM＝90°－∠BCD＝90°－22.5°＝67.5°，
易知DA＝DC，∵DF⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CDF＝∠CDA＝45°，
∴∠MDF＝45°＋67.5°＝112.5°，∴∠M＋∠F＝180°－112.5°＝67.5°.
易知GD＝GM，HF＝HD，
∴∠M＝∠GDM，∠F＝∠HDF，
∴∠HDG＝∠MDF－(∠GDM＋∠HDF)＝∠MDF－(∠M＋∠F)＝112.5°－67.5°＝45°.
