2022-2023学年江西省上饶市鄱阳县八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式有意义，则必须满足的条件是( )
A. B. C. D.
2. 由线段，，组成的三角形是直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3. 下列式子计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，且，则的长度为( )
A. B. C. D.
5. 已知，则的值为( )
A. 土 B. C. D.
6. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. ______ ．
8. 如图，在数轴上点表示的实数是______ ．
9. 已知是整数，则正整数的最小值为______ ．
10. 电流通过导线时会产生热量，电流单位：、导线电阻单位：、通电时间单位：与产生的热量单位：满足已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，则的值为______ A.
11. 如图，正方体的棱长为，已知点与点间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为______ ．
12. 在中，，，，是直线上的动点，若是等腰三角形，则的长度是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
计算：；
计算：．
14. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
15. 本小题分
随着月日植树节的到来，某企业计划对一块四边形空地进行绿化如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为元，请预计绿化的费用．
16. 本小题分
如图，在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点叫格点．
在图中，以为顶点，作一个三边长分别为，和的格点三角形．
在图中，以为顶点，作一个面积为的等腰直角三角形．
17. 本小题分
如图，长方形沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点，若，，求的长．
18. 本小题分
如图，在中，，．
求的面积．
若是边上的一点不与点，重合，过点作于点，于点，得到图，移动点的位置，的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
19. 本小题分
下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
任务一：以上步骤中，从第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ．
任务二：请写出正确的计算过程．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意
的事项给其他同学提一条建议．
20. 本小题分
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”如图，小明站在处，同时小亮在斜坡的处，且米，米，不考虑两人身高，点、、在同一水平线上
求小明与小亮之间的距离结果保留根号．
若风筝在小明的北偏东方向上，且高度为米，，求此时风筝到小亮的距离．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，点沿着从点向点运动若运动速度为个单位长度秒，设点的运动时间为秒．
若，
线段 ______ ， ______ ．
点的坐标为______ ．
连接，猜想，，之间的数量关系，并证明．
22. 本小题分
阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
归纳：请直接写出下列各式的结果： ______ ； ______ ．
应用：化简．
拓展： ______ 用含的式子表示，为正整数
23. 本小题分
课本再现：
如图，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理请证明：．
类比迁移
现将图中的两个直角三角形向内翻折，得到图，若，，则空白部分的面积为______ ．
方法运用
小贤将四个全等的直角三角形拼成图的“帽子”形状，若，，请求出“帽子”外围轮廓实线的周长．
如图，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，故线段、、组成的三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、，故线段、、组成的三角形是不直角三角形，本选项符不合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：在中，，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
先根据含角的直角三角形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解，
，，
，，
．
故选：．
非负数之和等于时，各项都等于，利用此性质即可解决问题．
本题考查非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，关键是掌握非负数的性质．
6.【答案】
【解析】解：第一代勾股树中正方形有个，
第二代勾股树中正方形有个，
第三代勾股树中正方形有个，
第五代勾股树中正方形有个，
故选：．
由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数
本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
7.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为．
利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
8.【答案】
【解析】解：如图，根据勾股定理得：，
，
点表示的实数为，
故答案为：．
根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．
本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：是整数，
则一定是一个完全平方数，
，
当时，一个完全平方数．
正整数的最小值为．
故答案为：．
根据是整数可知，一定是一个完全平方数，即可求解．
本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，
，
故I，
则．
故答案为：．
直接把已知数据代入，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，
，
如图，
，
答：需要爬行的最短距离为，
故答案为：．
求蚂蚁爬行的最短距离，需将正方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题考查了平面展开最短路径问题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
12.【答案】或或
【解析】解：，，，
，，
分三种情况：
如图，当时，，
如图，，
过点作于，
，
中，，，
，
，
；
如图，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
综上，的长是或或．
故答案为：或或．
根据是等腰三角形，分三种情况：或或为底边，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得结论．
本题考查了等腰三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握分类讨论的思想是解本题的关键．
13.【答案】解：
；
．
【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】解：
，
当时，
．
【解析】根据分式的加法法则及除法法则把分式进行化简后，再把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，把分式正确的通分、约分，会把二次根式化简是解题的关键．
15.【答案】解：连接，
在中，，
在中，
，
是直角三角形，且，
平方米，
所以需费用元．
答：预计绿化的费用元．
【解析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理逆定理证得为一直角三角形，四边形由和构成，则容易求解．
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，通过边与边的关系证明是直角三角形是解决问题的关键．
16.【答案】解：如图，三角形即为所求．
如图，等腰直角三角形即为所求．
【解析】利用勾股定理画出格点三角形即可．
利用网格，结合勾股定理，画三角形的两条直角边均为即可．
本题考查作图应用与设计作图、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：四边形是矩形，
，，
长方形沿着对角线翻折，点落在点处，
，，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
．
【解析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18.【答案】解：过点作，垂足为，
，，
，
在中，，
，，
，
的面积
，
的面积为；
移动点的位置，的值不会变化，
连接，
，，
的面积的面积的面积，
，
，
，
移动点的位置，的值不会变化，的值为．
【解析】过点作，垂足为，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；
连接，利用面积法，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，含度角的直角三角形，熟练掌握含度角的直角三角形的性质，以及面积法是解题的关键．
19.【答案】一 没有将带分数化为假分数再化简
【解析】解：任务一：一，没有将带分数化为假分数再化简，
故答案为：一，没有将带分数化为假分数再化简，
任务二：原式
，
任务三：二次根号内是带分数，需要先化为假分数，再化简．
直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20.【答案】解：在中，米；
，，
，
，
米，
米，
过作于点，
，，
四边形是矩形，
米，米，
在中，
米．
【解析】根据勾股定理直接求出；
过作于点，根据等腰三角形的判定证得，在中，根据勾股定理即可求出．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：，
，
点沿着从点向点运动若运动速度为个单位长度秒，设点的运动时间为秒，
，
，
，
，，
故答案为：，；
过点作轴于，轴于，
，，
，
轴，轴，
，是等腰直角三角形，
，，
，，
，，
，，
点的坐标为，
故答案为：；
．
证明：，是等腰直角三角形，
，，
轴，
，
轴，轴，，
四边形是矩形，
，
，
．
根据勾股定理求出斜边的长，然后根据路程等于时间乘以速度计算即可；
过点作轴于，轴于，可得，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求解；
根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质可得，，，即可得，，之间的数量关系．
此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等，利用数形结合思想是解决问题的关键．
22.【答案】
【解析】解：；
；
故答案为：；；
；
，
故答案为：．
利用分母有理化，进行计算即可解答；
先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23.【答案】
【解析】证明：如图，大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，
，
；
解：如图，空白部分的面积边长为的正方形的面积个直角三角形的面积，
，，
空白部分的面积．
故答案为：．
解：如图，在中，，
≌≌≌，
，
，，
，
，，
≌，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
同理可得，
“帽子”外围轮廓实线的周长为．
解：如图，过点作于点，交于点，
中，，
，
四边形、四边形、四边形均为正方形，
，，，
正方形与同底等高，
，
，
正方形与同底等高，
，
，
，
，
即 ．
利用以为边的正方形和个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论；
由折叠后空白部分的面积为边长为的正方形的面积个直角三角形的面积可得答案；
由勾股定理可得，利用证明≌，设，则，根据勾股定理建立方程求解即可得出答案．
根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，，，即可得出答案．
本题考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、三角形面积等知识，解题的关键是利用面积法，利用全等三角形的性质解决问题．
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