【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题
第7天 复数
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
3．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
4．若是纯虚数，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．－9 D．9
5．下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．(1+i)2 B．i2(1-i) C．i(1+i)2 D．i(1+i)
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．规定，若在复平面上的三个点，，分别对应复数0，，，其中满足，则的面积为（ ）
A．25 B． C．5 D．
8．已知复数（i为虚数单位），若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．设，复数，若，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
11．设复数满足.若，则实数（ ）
A．2或 B．或 C．或 D．1或
12．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
13．“”是“复数为纯虚数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．若复数是纯虚数（是虚数单位），其中是实数，则（ ）
A． B． C．或1 D．1
15．已知复数，则的实部为（ ）
A． B． C． D．
16．复数z满足：（ ）
A． B． C． D．
17．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
18．设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
19．设复数z满足，令，则的（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
20．已知，且，则（ ）
A．当时，必有
B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆
C．
D．
三、填空题
21．已知复数z满足，则___________．
22．已知，关于z的方程有四个复数根．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为________．
23．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________.
24．设且，满足，则的取值范围为________________．
25．已知，且z是复数，当的最大值为3，则_______.
四、解答题
26．已知复数的共轭复数的模为5，且，求．
27．当实数为何值时，复数为纯虚数？
28．如果复数z的实部为正数，虚部为3,那么在复平面内，复数z对应的点应位于怎样的图形上？
29．已知在复平面内，动点Z与复数对应，问：满足等式的点Z的集合是什么图形？
30．设复数z在复平面内对应的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
31．1.计算：
参考答案
1．C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
2．C
【分析】根据对称性得到，从而计算出，求出模长.
【详解】对应的点为，其中关于的对称点为，
故，
故.
故选：C
3．C
【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】则．故选C．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
4．A
【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可.
【详解】,
因为是纯虚数，故，得，
故选：A.
5．A
【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.
【详解】由题意，对于A中，复数为纯虚数，所以正确；
对于B中，复数不是纯虚数，所以不正确；
对于C中，复数不是纯虚数，所以不正确；
对于D中，复数不是纯虚数，所以不正确，故选A.
【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6．A
【分析】由复数除法运算，及共轭复数概念即可求.
【详解】，则.
故选：A
7．D
【分析】根据行列式的计算可得，由此可得三角形三个顶点的坐标以及三条边的长度，推断出是等腰直角三角形，最后由面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，
，，
∴，，，
，，，
∴，即是等腰直角三角形，
∴的面积．
故选：D
8．B
【分析】根据可得圆方程，所以当直线与圆相切时，可取得最小值.
【详解】由题可得，所以，
所以，设，即，
当直线与圆相切时，
解得，所以的最小值为，
故选:B.
9．A
【分析】根据复数模的几何意义得出z对应点的轨迹，从而可判断其所在的象限．
【详解】因为，
所以点z的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以复数z对应的点在第一象限．
故选：A．
10．D
【解析】根据复数的模的性质求模，然后可解得．
【详解】解：，解得.
故选：D．
【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则，
模的性质：，，．
11．B
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可表示出，再根据得到方程，即可求出的值.
【详解】由复数满足，
所以，
所以，
又，所以，故或.
故选：B
12．D
【分析】根据复数模的定义，结合复数加法、共轭复数的定义、虚部定义进行求解即可.
【详解】设，由，
由，
故选：D
13．A
【分析】，时是纯虚数，是纯虚数，则，得到答案．
【详解】，
时是纯虚数，充分；是纯虚数，则，不必要．
故选：A
14．D
【分析】根据纯虚数定义确定实数的取值，以此计算复数的模.
【详解】因为复数是纯虚数，
所以且，所以，则．
故选：D．
15．A
【分析】由可得，进而可得，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以的实部为.
故选：A.
16．A
【分析】设，代入，根据复数相等列方程求解即可．
【详解】解：设，则，
由得，
，解得，
．
故选：A．
17．A
【分析】利用复数的乘方运算，结合除法与乘法，可得答案.
【详解】解析：因为，所以，
故选：A.
18．C
【分析】由题知关于的方程有实数根，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知，，
因为存在实数，使得为实数，
所以关于的方程有实数根，
所以，有实数根，
所以，即
所以，的取值范围是
故选：C
19．AD
【分析】利用复数差的几何意义可求的最值
【详解】根据题意，有，且，
于是为以点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离，
其取值范围是，因此的最小值为，最大值为．
故选：AD.
20．BD
【分析】利用复数的模的定义以及其复数的几何意义，逐个选项进行计算，即可判断答案.
【详解】A项：，故错误；
B项：因为，故正确；
C项：，当与i对应向量同向时取等，故错误；
D项：，当与对应向量反向时取等，故正确.
故选：BD.
21．2
【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数，再由模的意义计算作答.
【详解】，依题意，，
因此，解得，
所以.
故答案为：2
22．
【分析】先判断判别式中至少有一个为负，若判别式一正一负，则可根据可求，当判别式均为负时，可根据实系数方程的虚数根为共轭复数可判断此时不合题设条件.
【详解】设根为的根为，
由题意，即且．
①当时，均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾；
②当时，为实数且为虚数，且，
所以；
此时，故或，
且或，
这四个点为以为中心，且对角线的方程分别为，，对角线的长度为的正方形的顶点.
③当时，均为虚数，
因为为实数，故为共轭复数且，故的实部为，
同理的实部为，，即四个对应点均在直线，这与题设矛盾．
综上：．
故答案为：.
23．/0.28
【分析】求出、向量的坐标，由向量的夹角公式可得答案.
【详解】因为，，，
所以，，
，
所以，
所以.
故答案为：.
24．
【分析】判断出对应点的轨迹，从而求得的取值范围.
【详解】设，
，则，
所以，
，所以，
即对应点在以为圆心，半径为的圆上.
，对应点为，
与关于对称，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
表示与两点间的距离，
圆与圆相交，圆心距为，如图所示，
所以的最小值为，最大值为，
所以的取值范围为.
故答案为：
25．
【分析】由可知，，化简可得其最值为，进而求出的值.
【详解】设，因为，所以，，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
解得，，
故答案为：.
26．或
【分析】由题设可得求参数a、b，写出复数，进而求即可.
【详解】由题设，，解得或，
当时，，则；
当时，，则；
27．1
【分析】复数为纯虚数，实部不为零，虚部为零.
【详解】若复数为纯虚数，且a∈R，
则且，
解得.
28．位于没有顶点的射线上.
【解析】根据复数的几何意义求解．
【详解】设，由题意，∴点在无顶点的射线上．
【点睛】本题考查复数的几何意义，复数对应的点为．
29．以为圆心，半径为1的圆
【分析】由条件可得，即可得到答案.
【详解】由可得，所以，即
所以满足等式的点Z的集合是以为圆心，半径为1的圆
30．见解析
【分析】根据复数的意义，即可做出复数在复平面上对应的点集所表示的图形.
【详解】（1）圆心在原点，半径为1的圆.如图①；
（2）圆心在原点，半径为1的圆内都（不包括圆上点）.如图②；
（3）圆心在原点，半径为1的圆及其外部，如图③；
（4）圆心在原点，半径为1和2的圆所构成的圆环（不包括圆上点）.如图④.
【点睛】本题考查复数的意义，考查学生的作图能力，正确理解复数的意义是关键.
31．－2i
【分析】根据复数的除法法则和乘方运算即可得到答案.
【详解】
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