2023年全国高考数学棋拟卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，
1.已知全集U=R,集合A={2,3,4,集合B={0,2,4,5),则图中阴彤部分表示的集合为)
A.{2,4B.{0}
c.{5D.{0,5)
2.已知直线1：V3x-3y+1=0,若直线2⊥l,则2的倾斜角为(
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
3.已知向量a,满足+引=日-，则a+石在ā方向上的投影向量为)
A.a
B.B
C.2a
D.26
4.早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容
异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所藏，如果截得的两个截
面的面积S,、S,总相等，则这两个几何体的体积、'2相等根据“祖暅原理”，“=”2”是“，=S2”的(
A充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件
)函数y=2cosx(0
A.Br
B.V3元
C.V2n
D.2n
2
3
2
3
y2
知P为双曲线c名京Q>0,6>0上广点，R,R为双曲线C的左右焦点，若PF区
且直线PF,与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为()
4
3
3
5
A.y=±。x
D.y=±-x
3
B.y=t7*
C.y-
31
7.已知正六棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，则该正六棱锥体积的最大值为()
A.273
B.16W3
C.103
D.95
8.设实数a,b满足1001°+1010=2023,10149+1016=2024，则4，b的大小关系为()
A.a>b
B.a=bC.a
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分逝对的得2分，
9.下列说法正确的是()
4若随机变量7~B(2,分，则D()=3
B若随机变武5~N(2,o2),且P(5<4)=0.8,则P(2<5<4)=04
C.一组数据11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位数为19
D若P(AB)=号，P(团=子，P(a=,则事件A与事件B相互独立，
10,在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别a,b,c,sinA=2 sin Bsin C，下列说法正确的是(
A若a=1,则Sc=4
1
B.△ABC外接圆的半径为
0
+取得最小值时，A=石
b
DA=交时，号+6取得最大值为22
11.正四棱柱ABCD-AB,CD，A4=3AB=3,P是侧棱A4上的动点（含端点），
下列说法正确的是()
AAP=1时，三棱锥P-BCD,的体积为方
B.设BDA平面ABC=M,则BM=号MD
C.平面BD,P裁正四棱柱所得截面周长的最小值为2√3
D.PC与AB所成角余弦值的取值范围
12.关于函数f(x)=ae-cosx,下列说法正确的是
A当a=1时，函数f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1
B.当a=-1时，函数f(x)在x∈(-π，π)上单调递减
C若函数∫(x)在x∈(-π，x)上恰有一个极值，则a=0
D.当a=1时，3x∈(-l,+o),满足f(x)<2ln(x+1)-x
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(*2a-
的展开式中常数项为
14.若x=1+√3i是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是2023全国高考数学模拟卷参考答案
选择题 DBABAABC CD ABD ACD BC（每题 5分）
填空题
2 n
13. 280 14. x -2x+4=0(不唯一) 15. 7, 2 -1 16. 4 3
四、解答题：本大题共 6个大题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
π π
17.(10分)已知函数 f x A sin x A 0, 0, 0 的部分图象如图所示， f x 的图象过点
, 0 .
2 12
(1)求这个函数的解析式；
π π
(2)若函数 g x f x a在区间 , 上存在零点，求实数 a 的取值范围. 2 12
【解析】
(1)由图知： A 2
π
π
π T
2π ，所以T π ，所以 2
6 12 4 4 T
所以 f x 2sin 2 x
π
π
π由 f 2sin 2 2 ，且 0
6 6 2
π所以
6
π
所以 f x 2sin 2 x
·················5分
6
(2)令 g x 0得： f x a
π π π
对于 f x 2sin 2 x ， x
,
6 2 12
π 5π π
则 2 x
,
6 6 3
π π π
由 y 2 sin t的图像和性质可得： f x 2sin 2 x 在区间 , 上的值域为 2, 3 6 2 12
π π
所以函数 g x f x a在区间 , 上存在零点，有 a 2, 3 .·················10分 2 12
18.(12分)已知正项数列 a 的前 n项和为 S ，且 a 1n ， a S Sn 1 n n n ( *n N 且 n 2 ).1
(1)求数列 a n 的通项公式；
a
设数列 n 2(2) 的前 n项和为T ，求证：T 1n n n .
2 a an n 1
【解析】
(1)∵ a S S (n 2)n n n 1
∴ a ( S S )( S S )(n 2)n n n 1 n n 1
又 a *S S n 2, n Nn n n 1 ， a 0n
∴ S S 1(n 2)n n 1
∴数列 { S } 是以 S a 1 1为首项，1为公差的等差数列n 1 1
∴ S 1 (n 1) nn
2∴ S nn ············································3分
当 n 2时， 2a S S n n
2
1 2n 1n n n 1
当 n 1时， a 11 ，满足上式
∴数列 a 的通项公式为 a 2n 1n n ·································6
分
(2)由(1)可知， a 2n 1n
a
n 2n 3 1 12
∴ n n n 1 n ····················· 分
2 a a 2 2n 1 2n
9
1 2 2n 1 2 2n 1n n 1
1 1
1 1 1 1
∴T
n
02 11 2 3 12 2 n 1 n3 2 5 2 2n 1 2 2n 1
P
E
1
1 1
n .···················12分2 2n 1
19.(12分)如图，正四棱锥 P ABC D 和正三棱锥 P C D E 顶点均为 P .
D
A
(1)设平面 P AB 与平面 P C D 的交线为 l ，求证： l P E ；
(2)若 P E BC ，PE的中点为 F，求平面 BC F 与平面 C D E 所成二面角的余弦值.
B C
【解析】
Z
Q (F
P E
(1)证明：取 C D 的中点为 M ，连接 PM 、 EM
正三棱锥 P C D E 的底面为正 C D E
P C P D ， E C E D
M 为 C D 的中点
PM C D ， EM C D
PM EM M
C D P EM
C D P E
C D AB ， AB P AB ， C D P AB
C D P AB
C D P C D ， P C D P AB l
C D l
l P E ···········································5分
(2)设正方形 ABC D 的中心为O ，取 BC 的中点为 N ，过点 M 作 MQ P E 于点Q ，令 C D 1， P C m
P O ABC D ，OM ABC D
P O OM
OM BC P E
四边形OM E P 为直角梯形
在 R t
1
MQE 中， 2
1 3
MQ OP m ，QE P E P Q P C OM m ， EM
2 2 2
由 2 2 2EM MQ QE 可得m 1································7分
P O OM ， P O ON ，OM ON
以O 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系
1 1 1 1 1 2 1 2
B , , 0 ， C , , 0 ， F , 0, ，则 BC 1, 0, 0 ， C F 0, ,
2 2 2 2 2 2 2 2
设平面 BC F 的法向量 n x , y , z1
BC n 0 x 0
则
1 ，令 y 2 ，则 n 0, 2 ,1 ··················· 分1 9
C F n 0 y 2 z 01
同理可得，平面 C D E 的法向量 n 2 , 0, 1 ··························2 10分
n n 1
cos n , n 1 2 1 2
n n 3
1 2
1平面 BC F 与平面 C D E 所成二面角的余弦值为 .·························12分
3
20.(12分)某公司有员工 140人，为调查员工对薪酬待遇的满意度，现随机抽取了 15人，通过问卷调查，有 3人
对薪酬不满意.
(1)试估计公司中对薪酬不满意的人数；
(2)从 15名调查对象中抽取 2人，用 表示其中对薪酬不满意的人数，试求 的数学期望 E ；
(3)实际上，由于问题比较敏感，被调查者为了保护自己的隐私往往会做出相反的回答，导致调查数据失真.
为此对调查方法进行优化，现向 15名调查对象提供两个问题：
问题 A：你对公司薪酬是否不满意？
问题 B：现场抛一枚硬币，是否正面朝上？
在一个密闭房间里有一个箱子，箱子中放入大小相同的 10个小球，其中黑色小球 7个，白色小球 3个，每位调查
对象进入房间后，从箱子中摸出一个小球后放回，若是黑球，则回答问题 A，若是白球，则抛硬币完成问题 B.若有
6人回答“是”，试用全概率公式估计公司中对薪酬不满意的人数.
【解析】
X 3
(1)设公司中对薪酬不满意的人数为 X，则 ，解得 X 28
140 15
公司中对薪酬不满意的人数约为 28人······························3分
(2) 0,1, 2
2
P
C 66
0 12 ······································4分
2
C 105
15
1 1C C 36
P 12 31 ····································5分
2
C 105
15
2
C 3
P 32 ······································6分
2
C 105
15
66 36 3 2E 0 1 2 ·······························7分
105 105 105 5
(3)设公司员工对薪酬满意的概率为 p
6 7 3 1 5
由全概率公式可知： ，即 p ，解得 p ·····10
15 10 10 2 14
分
5140 50
14
公司中对薪酬不满意的人数约为 50人.······························12
分
2 2
x y 3
21.(12分)已知椭圆 C : 1(a b 0) ，长轴为 AB，离心率为 ，P是椭圆 C上的动点， P AB 面积的
2 2
a b 2
最大值为 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若点 S，T是椭圆 C上另两个动点，求 P ST 面积的最大值.
【解析】
c 3
a 2
2a b a 2
(1)由条件可得： 2 ，解得
2 b 1
2 2a b 2c
2
x椭圆 C的方程为 2y 1···································4
4
分
(2)①当直线 ST斜率为 0时，设直线 ST： y t，不失一般性，令 t 1, 0
2ST 4 1 t
2
4 1 t 1 t此时 为上顶点时， 面积取得最大值， P 3P ST S 2P ST 1 t 1 t
2
3
令 f t 1 t 1 t , t 1, 0
2 3 2f ' t 3 1 t 1 t 1 t 2 1 t 2t 1
1 1 1 27 f t 在 t 1, 单调递增，在 t , 0 单调递减， fm ax t f 2 2 2 16
3 3P ST 面积的最大值为 ··································6分
2
②设直线 ST： x my t1
x my t
1 2 2 2
2x m 4 y 2mt y t 4 0
2 1 1y 1
4
2 2 24m t 4 m 2 2 241 t 4 16 m t 41 1 0 (※)
2 2
4 m t 42 1ST 1 m ·································7分
2
m 4
设直线 l ： x my t ，当 l 与椭圆 C相切时，切点为 P，此时 P ST 面积取得最大值2
x my t
2
2x ， 0
2 2
m t 4 0 ······························8分
2 2
y 1
4
t t
1 2d ··········································9分
21 m
2 2 2 2 2
2 2 2 2ST d 2 m t 4 t t 2 m t 4 t t t t t t 2 1 1 2
2 1 1 2 1 1 2
t t
S 1 1 1 m 2 2 1 1P ST 2 2 2
2 m 4 21 m m 4 t t
2 2 t2
t
1 2
令 p ，则 2S 2 1 p p 1P ST t
2
1 3 3 2 2 2
由①可知，当 p ，即 t 2t 时， P ST 面积的最大值为 ，此时m t 4 4t 4，满足※成立2 1 2 1
2 2
3 3综上， P ST 面积的最大值为 .································12分
2
22.(12分)曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度
越大.
y ''
0
若记 y '' y ' '，则函数 y f x 在点 P x , y 处的曲率为 30 0 .
1
2 2
y '0
2 b
(1)求证：抛物线 y ax bx c a 0 在 x 处弯曲程度最大；
2a
2 3 2
1
x x 2 (2)已知函数 g x 6 x ln x 2ax 9 x ，h x 2 xe 4e ax ，a 0, ，若 g x ，h x 曲率为 0时 x
e
2 8
x
的最小值分别为 x ， x ，求证： 1
1 2 e 3 .x
e 2
【解析】
(1) 2y ax bx c
y ' 2ax b， y '' 2a
2a
x 3
2 2 1 2ax b
b
则当 x 时， x 取得最大值为 2a ，此时抛物线的弯曲程度最大················4分
2a
(2) g x 和 h x 分别在 x x ， x x 处的曲率为1 2 0
g '' x1 0 ， h '' x 02
xln x ax 0， x e 2 a 0
1 1 2
ln x令 x
x
1 ln x' x
2
x
1 x 在 x 0, e 单调递增，在 x e, 单调递减， x m ax e
e
1 a 0,
e
x 1, e ···········································1 5
分
x
令 x xe
x' x x 1 e
1 x 在 x , 1 单调递增， x 1, 单调递减， x 1
m ax
e
1
a 0,
e
x , 1 ·········································6分2
令 t x
1
1, e ， t e, ，则 t t a ······················1 1 2 x 1 2 7
e 2
分
8
即证： 2t t e 3
1 2
令 t mt m 1
2 1
ln t ln t ln t ln m
1 2 1 ln m，则 ln t
1
t t mt
1 2 1 m 1
m 2 ln m2 ln t ln t 3 ln t ln m
1 2 1
m 1
m 2 ln m
令 p m
m 1
2
3 ln m m 1
p ' mm
2 m 1
2
令 q m 3 ln m m 1
m
3 2 m 1 m 2 q ' m 1
2 2
m m m
q m 在m 1, 2 单调递减，在 2, 单调递增
q 1 0，当m 时， q m
2
m m 2
唯一 m 2, ， q m ，即 0 00 ln m ，此时 p m 在 m 1, m 单调递减，在0 0 0 0
3m
0
m m , 单调递增0
m 2 ln m 1 4 0 0 8 p m p m m 4 0 0
m 1 3
0 m0 3
8
即 2t t e 3 ，得证.·······································12分
1 2
