景德镇市2023届高三第二次质检试题
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
2．已知i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，，若，则的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．
4．已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长，现将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为（ ）
A．8π B．16π C．24π D．32π
5．斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列满足，，设，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，CD的中点．则下列选项中错误的是（ ）
A．直线MN∥平面
B．三棱锥在平面ABCD上的正投影图的面积为4
C．在棱BC上存在一点E，使得平面平面MNB
D．若F为棱AB的中点，三棱锥M-NFB的外接球表面积为6π
7．已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若则（ ）
A． B． C． D．2
8．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式计算π的近似值（其中P表示π的近似值）”．若输入，输出的结果P可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：
．
若正项数列的前n项和为，且满足，数列的通项公式为，则根据三角垛公式，可得数列的前10项和（ ）
A．440 B．480 C．540 D．580
10．已知双曲线C：的焦距为2c，过双曲线C的右焦点F的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
11．若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则在函数的值域为R的条件下，满足“函数为偶函数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．若函数恰有两个零点，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．由于夏季炎热某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.3，现在用数据0、1、2表示停电：用3、4、5、6、7、8、9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据，
28 21 79 14 56 74 06 89 53 90 14 57 62 30 93
78 63 44 71 28 67 03 53 82 47 23 10 94 02 43
根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为 ．
14．在直角坐标系xOy中，点A、B分别在射线和上运动，且△AOB的面积为1，则△AOB周长的最小值为 ．
15．若函数，在上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的取值范围是 ．
16．已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选做题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且角A为锐角．
（1）求角B；
（2）若△ABC的面积为，求b的最小值．
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面PBD⊥平面ABCD．
（1）证明：
（2）若PA∥平面BDN，求平面ABN与平面ADN所成夹角的余弦值．
19．世界杯小组赛中，A，B，C，D四支球队被分到同一组进行循环赛（每两队间进行一场比赛，获胜的球队积3分，平局两队各积1分，落败的球队积0分）．已知四支球队实力相当，每支球队在每场比赛中胜，负，平的概率分别为0.4，0.4，0.2．
（1）求A队踢完三场比赛后积分不少于6分的概率；
（2）求四支球队比完后积分相同的概率．
20．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，M，N分别为左右顶点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，当倾斜角为时，A是椭圆的上顶点，且的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点N作x轴的垂线，D为上异于点N的一点，以DN为直径作圆E．若过点的直线（异于x轴）与圆E相切于点H，且与直线DM相交于点P，试判断是否为定值，并说明理由．
21．已知函数
（1）若函数在定义域上单调递增，求a的最大值；
（2）若函数在定义域上有两个极值点和，若，，求的最小值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线：（α为参数）经过伸缩变换得到曲线，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程；
（2）设点P是曲线上的动点，求点P到直线l距离d的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，
（1）若，求不等式的解集．
（2）已知，若对任意，都存在，使得，求实数t的取值范围．
景德镇市2023届高三第二次质检试题
数学（理科）答案
一、选择题
1-5 DDABC 6-10 BDCAD 11-12 DB
二、填空题
13．0.4 14． 15．
16．解：由函数性质知
∴
∴
三、解答题
17．解：
（1）∵
∴
∴
∵角A为锐角
∴
∴
∴
（2）
∴
由余弦定理
∴b的最小值为
18．解：
（1）证明：
平面
（2）连接AC交BD于点O，连接ON
平面BDN，O为中点，则N也为PC中点
，
面PBD
BA、BD、BP两两垂直，
∴以B为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，
∴，，
面ABN的法向量为
，，面AND的法向量为
，
平面ABN与平面ADN所成．夹角的余弦值
19．解：
（1）A队踢完三场比赛后积分不少于6分
∴A队三场比赛中至少胜两场
（2）六场比赛比完后四支球队积分总和最少12分，最多18分
∴四支球队积分相同，可能同积3分或同积4分
①若同积3分，则六局皆平
②若同积4分，则每支球队均一胜一平一负，若A胜B，平C，负D，
则B胜C，B平D，C胜D
综上所诉：四支球队比完后积分相同的概率为
20．【详解】
（1）当倾斜角为时，直线l为，
令，得．即椭圆的上顶点为，所以，
又的周长为6，即，又，解得，，
所以椭圆C的方程为．
（2）由（1）可知，，，
因为过与圆E相切的直线分别切于N，H两点，所以，
所以，
设点，则，圆E的半径为，
则直线DM的方程为，
的方程设为，则，化简得
由，得，所以点
，所以点P在椭圆C上，
∴，即．
21．解：
（1），，令
∴
∴
∴．
∴a的最大值为2
（2）设（），
∴
∴
两式相减得，
∴，
∴
令（）
∴
令
∴
∴在上递减，在上递增，
又∵且
∴在上，即，在上，即
∴在上递减，在上递增
∴当时，取最小值
四、选做题
22．解：
（1）由题意得曲线：（为参数）的普通方程为．
由伸缩变换得
代入，得．
∴的普通方程为．
（2）∵直线l的极坐标方程为，
∴直线l的普通方程为．
设点P的坐标为，
则点P到直线l的距离
，
所以点P到直线l距离d的最大值为．
23．解：
（1），则，
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴，
综上不等式的解集为；
（2）∵，
∴，
又，，
则，
当且仅当，等号成立，
所以，
根据题意，，
∴t的取值范围是
