成都列五中学 2022~2023学年度（下）阶段性考试（二）暨三诊模拟考试
高 2020级 数学（文科）
注意事项：1．本试卷满分 150分，考试时间 120分钟．
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．）在每小题的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 若集合 = 2 > 0 , = 1 < < 4 ，则集合 =
A. ( 1,4) B. > 2 C. { 1,4} D. 1,
2. 已知复数 = 2 ，则以下判断正确的是
1
A. 复数 的模为 1 B. 复数 的模为 2 C. 复数 的虚部为 D. 复数 的虚部为 1
3. 下列说法错误的是
A. “ > 1”是“1 < 1”的充分不必要条件
B. 在回归直线 y 0.5x 85中，变量 = 200时，变量 的值一定是 15
C. 命题 ： 0 ∈ ， 2 20 + 0 + 1 < 0，则 p： ∈ ， + + 1 ≥ 0
D. 若 ∩ = ， ， ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是
A. ( ) = 8 B. ( ) = 5 C.
( ) = 2
3 + 3 D. ( ) = +
5. 如图，某几何体的正视图和俯视图是两个全等的矩形，则该几何体不可能是
A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 圆柱
6. 1设点 是函数 f (x) x3 f '(1)x f '(2)图象上的任意一点，点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取
2
值范围是
A. [0, 3 ) B. [0, ) ∪ [ 3 , ) C. ( , 3 ) D. [0, ) ∪ ( 3 , )
4 2 4 2 4 2 4
≥ 0
7. 已知不等式组 + 1 ≤ 0构成的平面区域为 ，命题 ：对 ( , ) ∈ ，都有 2 ≥ 0， ：
≥ 0
( , ) ∈ ，使得 2 > 2，则下列命题中为真命题的是
高三数学试题（文科） 第 1页 共 4页
A. ∧ B. p q C. p q D. p q
8. 在等差数列{ }中， 1 = 9， 4 = 3.记 = 1 2 ( 为正整数)，则数列{ }
A. 有最大项，也有最小项 B. 有最大项，但无最小项
C. 无最大项，但有最小项 D. 无最大项，也无最小项
9. 已知函数 ( ) = 2 3 + 2 2 2，以下说法中，正确的是
①函数 ( )关于点( , 0)12 对称；
②函数 ( )在[ ,
]
6 6 上单调递增；
∈ ( , 2 ③当 )时， ( )的取值范围为( 2,0)；
6 3
④将函数 ( )的图象向右平移12个单位长度，所得图象对应的解析式为 ( ) = 2 2 1．
A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ②
10. 已知三棱锥 S ABC， ABC是直角三角形，其斜边 AB 8，SC 平面 ABC，SC 6，则
三棱锥的外接球的表面积为
A. 64 B. 68 C. 72 D. 100
2 2
11. 已知 1， 2是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右焦点，过点 1作斜率为
2的直线 与双
2
曲线的左，右两支分别交于 ， 两点，以 2为圆心的圆过 ， ，则双曲线 的离心率为
A. 3 B. 2 C. 2 D. 5
1 51
12. 设a ，b ln(1 sin 0.02)， c 2 ln ，则 a，b，c的大小关系正确的是
50 50
A. a b c B. a c b C. b c a D. b a c
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13. 设等比数列{ }的前 项和为 ，写出一个满足下列条件的{ }的公比： = ．
① 1 > 0， ② 是递增数列， ③ 3 < 13 1．
14. 已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 2，且 与 的夹角为3，则向量 与 的夹角为 ．
15. 已知直线经过抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点 ，并交抛物线于 ， 两点，则| | = 4，且在抛
物线的准线上的一点 满足 = 2 ，则 = ．
16. 对任意 ∈ ，存在 ∈ (0, + ∞)，使得 + 1 = ，则 的最小值为______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
高三数学试题（文科） 第 2页 共 4页
17. (本小题满分 12分)
在△ 中，内角 ， ， 3所对的边分别为 ， ， ，且 = ．
3
（1）求角 的大小；
（2）若 = 2 3，且_____，求△ 的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充
1 3 2
到上面的横线中，并完成作答.① = ； 的面积为 ；③ = ．
12 ②△ 3 3
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分．
18. (本小题满分 12分)
2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚
军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利
亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取 100名观众进行统计，
得到如下 2 × 2列联表.
男 女 合计
喜爱 30 40
不喜爱 40
合计 100
（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001的前提下认为喜爱篮球运动
与性别有关？
（2）在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取 6人，再从这 6人中随机
抽取 2人参加一台访谈节目，求这 2人至少有一位男性的概率．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2 ≥ 0) 0.010 0.005 0.001
0 6.635 7.879 10.828
19. (本小题满分 12分)
如图，在直角梯形 ABCD中， AD // BC ， AD CD，四边形 CDEF为平行四边形，平面
高三数学试题（文科） 第 3页 共 4页
CDEF 平面 ABCD，BC 2AD.
（1）证明：DF //平面 ABE；
（2） 若 AD 1，CD ED 2， FCD ，求三棱锥 B ADE的
3
体积.
20. (本小题满分 12分)
2
+
2
已知椭圆 ： 2 2 = 1( > > 0)
1
离心率为 3，点 ( 3, )在椭圆 上．
2 2
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点， ， ， 是椭圆 上不同的三点，且 为△ 的重心，探究△ 面积
是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由．
21. (本小题满分 12分)
已知函数 ( ) = 2 + 4 ，( ∈ )．
（1）讨论函数 ( )的单调性；
（2）令 ( ) = ( ) ，若存在 1， 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 ≠ 2时， ( 1) = ( 2)，
证明： 1 < 22 ．
请考生在第 22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时，用 2B铅
笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22．(本小题满分 10分) 选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴为极轴建立极坐标系，半圆 的极坐标方程为
= 2cos ， ∈ 0, ．
2
（1）求 的参数方程；
（2）设点 在 上， 在 处的切线与直线 : = 3 + 2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，
确定 的极坐标．
23. (本小题满分 10分) 选修 4－5：不等式选讲
设函数 ( ) = |3 1| + |2 + 2|的最小值 ．
（1）求 ；
（2）已知 、 、 均为正实数，且 + + = 9 24 24 24，求证：( 1)( 1)( 1) ≥ 8．
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高 2020 级 数学（文科）参考答案
一、选择题： DBBCC BABDD AD
二、填空题：13．2(答案不唯一 满足 1 < < 3 即可)； 14．150°； 15．2； 16．1．
三、解答题（共 70 分.）
3
17．（1）由正弦定理： √ = ，
3
3
因为 = sin( + )，所以 √ + = ，……………2 分
3
所以 √
3 √3
= ，因为 ≠ 0，所以 = = √3，……………5 分
3 3
又 ∈ (0 )，可得 = ．……………6 分
3
2√3
（2）若选①，由(1)可知， = = = = 4， sin
3
1 4
所以 = 4 ， = 4 ，即 = ，则 = ，
12 3
1 3 4
若选 √②，即 = ，则 = ，
2 3 3
2 2 4若选③，即 = ，则 ( ) = ，所以 = ，
3 3 3
4
故三个条件任选一个条件，都可以得到 = ，……………8 分
3
由余弦定理，得 2 = ( + )2 2 2 = 12，
3
化简得( + )2 = 16，则 + = 4或 + = 4(舍去)，……………11 分
所以△ 的周长为 + + = 4 + 2√3． ……………12 分
18. (1)由题意进行数据分析，得到2 × 2列联表如下：
男 女 合计
喜爱 30 10 40
不喜爱 20 40 60
合计 50 50 100
……………2 分
2 2
计算 2 ( ) 100(30×40 10×20) 50 = = = ≈ 16.667 > 10.828，…………5 分
( + )( + )( + )( + ) 50×50×40×60 3
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关；……………6 分
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(2)不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，按照分层抽样的方式抽取6人，有男观
众2人，记为 、 ，女观众4人，记为1、2、3、4，……………7 分
从6人中抽取2人，有： ， 1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4，12，13，14，23，24，34，共15个，……………9
分
记“所抽2人至少有一位男性”为事件 ，包含： ， 1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4，共9
个．……………11 分
9 3
所以 ( ) = = ． ……………12 分
15 5
19.（1）证明：如图，连接 CE 交 DF 于点 H，取 BE 的中点 G，连接 AG，GH，
因为四边形 CDEF 为平行四边形，所以 H 为 CE 的中点，
1
所以GH // BC,GH BC ，
2
因为 AD // BC ， BC 2AD，所以GH // AD ，GH AD ，……3 分
所以四边形 ADHG 为平行四边形，所以DH // AG ，即 DF // AG ，
因为 AG 平面 ABE， DF 平面 ABE，所以DF // 平面 ABE，…………5 分
（2）解：如图，取 CD 的中点为 O，连接 OF，
因为CD ED 2， FCD ，所以 CDF 为等边三角形，
3
所以OF 3 ，OF CD ，
因为平面CDEF 平面 ABCD，平面CDEF 平面 ABCD CD，
OF 平面 CDEF，所以OF 平面 ABCD，…………7 分
所以点 F 到平面 ABCD 的距离为OF 3 ，
因为 EF // CD ， EF 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 EF //平面 ABCD，
所以点 E 到平面 ABCD 的距离为OF 3 ，…………9 分
因为 ABCD 是直角梯形， AD // BC ， AD CD， AD 1，CD 2，
1
所以 S ABD AD CD 1，…………10 分
2
1 3
所以VB ADE VE ABD 1 3 . …………12 分
3 3
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1 12 ( )2
20. (1)因为点 (√3 )在椭圆 上，则(√3) 2 ，
2 2
+ 2 = 1
又离心率为√
3 3
，则 √= ，结合 2 = 2 + 2，解得 2 = 4， 2 = 1，
2 2
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1；……………5 分
4
（2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 = + ，
= +
联立方程组{ 2 2 ，可得(4
2 + 1) 2 + 8 + 4( 2 1) = 0，
+ = 1
4
8 4 2 4
设 ( 1 1)， ( 2 2)，则△= 16(4
2 + 1 2) > 0，且 1 + 2 = = ，……7 分 4 2+1 1 2 4 2+1
2
故 1 + 2 = ( 1 + 2) + 2 = ， 4 2+1
8 2
因为 为△ 的重心，则 = ( + ) = ( 2 )，……………8 分 4 +1 4 2+1
8 2 8 2
故点 ( 2 )
( )
在椭圆上，则有 4 2+1 2 22 ， 4 +1 4 +1 + ( 2 ) = 14 4 +1
整理可得4 2 = 4 2 + 1，……………9 分
2 2
所以 4√4 +1 | | = √1 + 2| 1 2| = √1 + 2 ， 4 2+1
| |
又点 到直线 的距离为 =
√1+ 2
，
2 2
所以 3 6| |√4 +1 6| |√3
2 3√3
△ = 3 △ = | | = = = ．……………11 分 2 4 2+1 4 2 2
当直线 的斜率不存在时，则 ⊥ 轴，点 在 轴上，| | = √3，
1 3 3
点 到 的距离为3，故 √ △ = | | = ； 2 2
3 3
综上所述，△ 面积为定值 √ ． ……………12 分
2
2
21.(1) ( )的定义域为(0 +∞)， ′( ) = 2 = ，……………1 分
当 ≤ 0时， ′( ) > 0；当 > 0时，由 ′( ) > 0得 > ，由 ′( ) < 0得0 < < ，
2 2
∴当 ≤ 0时， ( )在(0 +∞)上单调递增，……………3 分
当 > 0时， ( )在(0 )上单调递减，在( +∞)单调递增．……………5 分
2 2
(2)证明： ( ) = 2 + 4 ，
∵ ( 1) = ( 2)，∴ 2 1 1 1 = 2 2 2 2，
∴ ( 1 2) = 2( 1 2) ( 1 2)，……………6 分
令 ( ) = ，则 ′( ) = 1 ≥ 0，∴ ( )在(0 +∞)上单调递增，
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不妨设 1 > 2 > 0，∵ ( 1) > ( 2)，∴ 1 1 > 2 2 ∴ ( 1 2) > 2 1，
∴ 2( 1 2) ( 1 2) > 2( 1 2) + ( 2 1) = 1 2，
1 2
∴ ( 1 2) > 1 2，∴ > ，……………8 分 1 2
1 2 1
下面证明 > =
1 ( > 1) 1 > > 0
√ 1 2，令 ，只需证 √ ，只需证 ， 1 2 2 √
1 (√ 1)2
设 ( ) = ( > 1)，则 ′( ) = > 0，∴ ( )在(1 +∞)递增，∴ ( ) > (1) = 0，
√ 2 √
1 2
即 > √ 1 2成立，∴ > √ 1 2，即 1 2 <
2． ……………12 分
1 2
22.(1)圆 的极坐标方程为 = 2 ，即 2 = 2 ，可得直角坐标方程： 2 + 2 2 =
0，……………2 分
配方为：( 1)2 + 2 = 1，圆心 (1 0)．
可得参数方程为： ， 为参数)．………5分
(2)如图：设切点 (1 + )，
∵ // ，则 = √3，即 = √3，解得 = ，………8 分
1+ 1 3
3 √3
∴ ( )．……………9 分
2 2
∴ 的极坐标为(√3 )．……………10 分
6
23. (1)解： ( ) = |3 1| + |2 + 2| =
5 1 < 1
1
{ + 3 1 ≤ ≤ 3，……………2 分
1
5 + 1 >
3
1 1
( )在( ∞ ]上单调递减，在[ +∞)上单调递增，
3 3
1 1 8 8
则 ( )的最小值为 ( ) = + 3 = ，故 = ；……………5 分
3 3 3 3
24 24 24 + + + + + +
(2)证明： + + = 9 = 24，( 1)( 1)( 1) = ( 1)( 1)( 1)
+ + + 2√ 2√ 2√ 8
= ( )( )( ) ≥ = = 8．
当且仅当 = = = 8时等号成立． ……………10 分
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