第13讲 最值问题之辅助圆（隐圆）的五种模型
模型一：点或线到圆上点的最值
动点P在圆外时，P到圆上的最小距离 最大距离 动点P在圆内时，P到圆上的最小距离 最大距离
直线和圆相离时 圆上的点到直线的最小距离为 圆上的点到直线的最大距离为 直线和圆相交时 圆上的点到直线的最小距离为0 圆上的点到直线的最大距离为
【例1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．
1．如图，正方形ABCD的边长为4，的半径为1.若在正方形ABCD内平移（可以与该正方形的边相切，则点A到上的点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
3．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A、D为圆心，半径分别为2和1画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．
模型二：动点到定点距离等于定长求最值
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
【例2】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．
6．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△MN，连接C，则C长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，已知中，，，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，点A随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，已知⊙的半径为3，圆外一点满足，点为⊙上一动点，经过点 的直线上有两点、，且OA=OB，∠APB=90°，不经过点，则的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
9．如图，在中．，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是_____________．
10．如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是___________．
11．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
12．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值．
模型三：定长对直角求最值
直径所对的圆周角是直角．
构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
图形释义：
若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．
【例3】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．
13．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点，连接，线段长的最小值为______．
14．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，则线段DH长度的最小值是 _____．
15．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
16．如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_______．
17．如图，中，，，．点为内一点，且满足 ．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
模型四：定长对定角求最值
若AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．
当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．
若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．
【例4】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．
18．如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．
19．如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，直线交于P点，交于E点，，则的最小值为___________．
20．如图，在△ABC中，AC=，BC=9，∠ACB=60°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于点E，则AE的最小值为_________．
21．如图：的半径为1，弦，点P为优弧上一动点，交直线于点C，
（1）求的度数是______；（2）求的最大面积是______．
22．如图，在边长为的等边△ABC中，E、F分别是AC、BC边上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP长的最小值为__________．
23．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为_____．
24．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为_______；
②△ABC面积的最大值为_______；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB=，BC=5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC=60°，求线段PB长的最小值为_______．
模型五：定角定高求最值
【例5】为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。
25．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC的工作面，使得∠ACB=60°，CD是AB边上的高，且CD=6，则△ABC的面积最小值是_______．
26．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，∠C＝60°，连接BD，BD⊥AB且BD＝CD，求四边形ABCD面积的最大值．小明过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，连接DH，则∠AHD的正弦值为___，据此可得四边形ABCD面积的最大值为___．
27．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为_____．第13讲 最值问题之辅助圆（隐圆）的五种模型
模型一：点或线到圆上点的最值
动点P在圆外时，P到圆上的最小距离 最大距离 动点P在圆内时，P到圆上的最小距离 最大距离
直线和圆相离时 圆上的点到直线的最小距离为 圆上的点到直线的最大距离为 直线和圆相交时 圆上的点到直线的最小距离为0 圆上的点到直线的最大距离为
【例1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．
【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．
连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．
1．如图，正方形ABCD的边长为4，的半径为1.若在正方形ABCD内平移（可以与该正方形的边相切，则点A到上的点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
【详解】解：如图，当⊙O与CB、CD相切于E、F时，连接AC，与⊙O交于点Q、点P，点A到⊙O上的点Q的距离最大，
连接OE、OF，
∴OE⊥BC，OF⊥CD，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质和正方形的性质，解题关键是确定点A到⊙O上的点的距离最大时，圆上点的位置．
2．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】D
【分析】利用菱形的性质以及圆的性质得出与重合时的最小值，进而求出即可．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，
四边形是菱形，，AB＝3，
，，
、是等边三角形 ，
∴，
，
，
，
，，在一条直线上，
由题意可得出：当与重合，点在上，在上时，最小，
∵，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
，，
的最小值是3．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关知识，根据题意得出点位置是解题关键．
3．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A、D为圆心，半径分别为2和1画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC于P，交⊙A、⊙D′于E、F′，连接PD，交⊙D于F，EF′就是PE+PF最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF最小值．
【详解】
解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC于P，则EF′就是PE+PF最小值；
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，
∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，
∴AD′=10，
EF′=10-2-1=7
∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．
4．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．
【详解】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．
由题意AB垂直平分线段OK，
∴AO＝AK，
∵OA＝OK，
∴OA＝OK＝AK，
∴∠OAK＝∠AOK＝60°．
∴AH＝OA sin60°＝6×＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∴AB＝2AH＝6，
∵OC＋OH≥CT，
∴CT≤6＋3＝9，
∴CT的最大值为9，
∴△ABC的面积的最大值为，
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．
5．如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．
【答案】3
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP==，
∵圆C的半径CQ=，
∴PQ==3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
模型二：动点到定点距离等于定长求最值
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
【例2】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．
【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．
连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．
构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．
6．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△MN，连接C，则C长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过作交的延长线于，根据为定值，可知当在上时，取得最小值，然后依据角度和三角函数，即可求得的长．
【详解】解：∵是定值，
∴当在上时，取得最小值，
如图，过作交的延长线于，
∵在边长为2的菱形中，，为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形性质、折叠问题、三角函数和勾股定理等知识点，找出所在位置是解答本题的关键．
7．如图，，已知中，，，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，点A随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由先等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，再由三角形的三边关系得，则当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是，然后由直角三角形斜边上的中线性质求出，即可解决问题．
【详解】解：取的中点D，连接，如图所示：
∵，，
∵点D是AB边中点，
∴，
∴，
连接OD，OC，有，
当共线时，有最大值，最大值是，
又∵为直角三角形，D为斜边的中点，
∴，
∴，
即点C到点O的最大距离为7，
故选：C．
【点睛】此题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的三边关系等知识，证出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．
8．如图，已知⊙的半径为3，圆外一点满足，点为⊙上一动点，经过点 的直线上有两点、，且OA=OB，∠APB=90°，不经过点，则的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，求出OP的最小值，根据直角三角形的性质得到AB=2OP，即可求解．
【详解】解：连接OP，PC，OC，
∵OP≥OC-PC=2，
∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为2，
∵OA=OB，∠APB=90°，
∴AB=2OP，
当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP=4，
故选B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，几何问题的最值，解题的关键是根据三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边，得到点O，P，C三点共线时，OP最短．
9．如图，在中．，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是_____________．
【答案】##
【分析】根据勾股定理可求出，根据翻折可知，故点P在以F为圆心，半径为2的圆上，依据垂线段最短可知当时，点P到线段AB的距离最短，由图易证，即得，即可求出，从而求出长，即点P到线段的最短距离．
【详解】由题意可知，点P在以F为圆心，半径为2的圆上．延长交于点D，如图．
∴当时，P点到的距离最短，即长．
在中，，，，
∴，．
由题意．
又∵，，
∴，
∴，即．
∴．
由翻折可知，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠变换，垂线段最短，含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形相似的判定和性质，判断当时，点P到线段的距离最短是解答本题的关键．
10．如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是___________．
【答案】4
【分析】如图作点D关于的对称点，连接，由，推出，又是定值，即可推出当E、F、P、共线时，定值最小，最小值．
【详解】解：如图作点D关于的对称点，连接，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∵是定值，
∴当E、F、P、共线时，定值最小，最小值，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．
11．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）﹣1；（4）7.
【分析】（1）根据题意可知在△POC中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）由题意先连接OA交⊙O于点P，然后根据勾股定理求得OA，进而求得AP；
（3）由题意可知A′的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接BM，求得BM，进而求得A′B的最小值；
（4）根据题意作点A关于x轴的对称点C，连接CB交x轴于点P，求出BC的长，进而求得PM+PN得最小值．
【详解】解：（1）证明：如图1，
∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，
连接OA角半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝
＝
＝，
∴AP＝OA﹣OP＝，
故答案为：；
（3）如图3，
连接BM，交⊙M（半径是1）于A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB sin60°＝，
∴A1B＝-1；
故答案为：﹣1；
（4）如图4，
作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN＝10﹣1﹣2＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查轴对称性质和圆的定义以及勾股定理和三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型．
12．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值．
【答案】
【分析】如图，过点作，当，，共线时，的面积最大，求出的长即可解决问题．
【详解】解：如图，过点P作PH⊥AC，
由题可得，在以为圆心，半径长为6的圆上运动，
当的延长线交圆于点时面积最大，
在中，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
的最大值为．
【点睛】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键．
模型三：定长对直角求最值
直径所对的圆周角是直角．
构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
图形释义：
若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．
【例3】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．
【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？
考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．
连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度．
思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．
13．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点，连接，线段长的最小值为______．
【答案】
【分析】利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，从而得出点P的路径是一段以为直径的弧，连接的中点和C的连线交弧于点P，此时的长度最小，然后根据勾股定理求得，即可求得的长．
【详解】解：四边形 是正方形，
，
在和中，
∴（）
∴，
∵+，
∴，
∴，
由于点P在运动中保持，
∴点P的路径是一段以为直径的弧，
取的中点Q，连接，此时的长度最小，
则，
在中，根据勾股定理得， ，
所以，．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
14．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，则线段DH长度的最小值是 _____．
【答案】
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠l=∠2，利用“SAS"证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O，D，H三点共线时， DH的长度最小．
【详解】解：取AB的中点O，连接OH、OD，如图：
在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
∵O为AB的中点，
∴OH＝AOAB＝3，
在Rt△AOD中，OD＝3，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝33．
故答案为：33．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等知识，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．
15．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
【答案】##
【分析】利用已知条件，可知∠BPA=90°，P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值，进行计算求值即可．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，
∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°，
∴∠BPA=90°，
∴P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值
∵AB=6，
∴OB=OP=3，
∵BC=5，
∴OC=,
∴CP=，
故答案为：
【点睛】本题考查的圆中几何问题的综合运用，掌握圆的基础性质，进行计算求值是解题的关键．
16．如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_______．
【答案】
【分析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
【详解】解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图所示：
∵动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM=AB=2，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵E是AD的中点，
∴DE=AD=×4=2，
∵点E与点E'关于DC对称，
∴DE'=DE=2，PE=PE'，
∴AE'=AD+DE'=4+2=6，
在Rt△AOE'中，，
∴线段PE+PM的最小值为：
PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，作出辅助线，熟练掌握相关性质及定理，是解题的关键．
17．如图，中，，，．点为内一点，且满足 ．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．
【详解】解：
取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点
在中，
是等边三角形
在中，
．
【点睛】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．
模型四：定长对定角求最值
若AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．
当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．
若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．
【例4】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．
【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．
所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．
所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）
当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．
18．如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．
【答案】．
【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．
【详解】如图所示，∵边长为6的等边，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧
此时
连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值
∵，，
∴
∴，
∴
又∵
∴，
∴
即
故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．
19．如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，直线交于P点，交于E点，，则的最小值为___________．
【答案】1
【分析】由，得出，可知点D应在以BC为弦的，为的圆的弧上，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得出，根据两点之间线段最短，当在一条直线上时最短，证明是直角三角形，从而得出，，即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D应在以BC为弦的，为的圆的弧上，
设圆弧所在圆的圆心为，如图，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
根据两点之间线段最短，当在一条直线上时最短，
∵
∴
∴是直角三角形，
∵，
∴
∵
∴的最小值为1
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确找到的最小值是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AC=，BC=9，∠ACB=60°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于点E，则AE的最小值为_________．
【答案】
【分析】连接CE，由平行线的性质可得∠MAC=∠ACB=60°，∠CEP=∠CAP=60°，利用邻补角可得∠BEC=120°，得出点E在以O为圆心，OB为半径的上运动，结合图象及等腰三角形的性质，锐角三角函数可得OB=OC=，连接OA交弧BC于点E’，此时AE’的值最小，利用勾股定理求解即可得出结果．
【详解】解：如图所示，连接CE，
∵，
∴∠MAC=∠ACB=60°，
∴∠CEP=∠CAP=60°，
∴∠BEC=120°，
∴点E在以O为圆心，OB为半径的上运动，
∴ BOC为等腰三角形，∠BOC=2（180°-∠BEC）=120°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
过点O作，
∴，
∴OB=OC=，
连接OA交于点E’，此时AE’的值最小，
∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，
∴∠ACO=90°，
∴，
∴AE’=OA-OE’=，
∴AE的最小值为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理及锐角三角函数解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用各个知识点是解题关键．
21．如图：的半径为1，弦，点P为优弧上一动点，交直线于点C，
（1）求的度数是______；（2）求的最大面积是______．
【答案】
【分析】（1）连接、，证得为等边三角形，利用圆周角定理即可求得，再利用直角三角形的两锐角互余即可求解；
（2）根据题意判断出的最大面积时点所在的位置，作出图形利用等边三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）连接、，如图1，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）∵，要使的面积最大，则点C到的距离最大，
如图2，作的外接圆D，
∵，点C在上，
∴，
当点C在优弧的中点时，点C到的距离最大，此时为等边三角形，且面积为，
∴的最大面积为．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了圆的综合题.熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质，记住等边三角形的面积公式是解题的关键．
22．如图，在边长为的等边△ABC中，E、F分别是AC、BC边上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP长的最小值为__________．
【答案】
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACF，可得∠ABE=∠CAF，可求∠APB=120°，过点A，点P，点B作⊙O，则点P在弧AB上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠CAF，
∴∠BPF=∠PAB+∠ABP=∠CAP+∠BAP=60°，
∴∠APB=120°，
如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，
∴点P在弧AB上运动，
∵AO=OP=OB，
∴∠OAP=∠OPA，∠OPB=∠OBP，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OPA-∠OPB-∠OBP=120°，
∴∠OAB=30°，
∴∠CAO=90°，
∵AC=BC，OA=OB，
∴CO垂直平分AB，
∴∠ACO=30°，
∴cos∠ACO=，CO=2AO，
∴CO=，
∴AO=1，
在△CPO中，CP≥CO-OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，
∴CP的最小值=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
23．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为_____．
【答案】
【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60°， AC=AB=3，求出∠APC=120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA=PC，由等边三角形的性质得出AD=CD=AC=，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，求出PD=AD．tan30°=AD=，BD=AD=，即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴PD＝AD tan30°＝×＝，
BD＝AD＝，
∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正三角形的性质、锐角三角函数及特殊角的三角函数值，理解锐角三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
24．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为_______；
②△ABC面积的最大值为_______；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB=，BC=5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC=60°，求线段PB长的最小值为_______．
【答案】（1）①2；②；（2）见解析；（3）
【分析】（1）①设O为圆心，连接BO，CO，则由圆周角定理可得△OBC为等边三角形，从而可得该弧所在圆的半径；
②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO交圆于点D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；
（2）延长BA′，交圆于点D，连接CD，则由同弧所对的圆周角相等有∠D=∠A=30゜，再由三角形外角的性质即可得到所证的结果；
（3）点P在以CD为弦的圆弧上运动，设圆弧所在的圆心为O，连接OP、OD、OC，连接OB交圆于点F，过点O分别作OE⊥CD于E，OG⊥BC于G，则可求得圆的半径及OB的长，由BP+OP≥OB得BP≥OB－OP，即BP的最小值为OB－OP，从而可求得BP的最小值．
【详解】（1）①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，即半径为2；
故答案为：2；
②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO交圆于点D，
则当A与D重合时，△ABC的面积最大，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴△ABC的最大面积为；
故答案为：；
（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）如图，点P在以CD为弦的圆弧上运动，设圆弧所在的圆心为O，连接OP、OD、OC，连接OB交圆于点F，过点O分别作OE⊥CD于E，OG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠BCD=90゜．
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴．
∵∠COD=2∠DPC=120゜，OD=OC，
∴∠OCE=30゜，
∴，
∴OC=2OE=2．
∵OE⊥CD于E，OG⊥BC，∠BCD=90゜，
∴四边形OECG是矩形，
∴，．
∵BG=BC－CG=4，
∴在Rt△OBG中，由勾股定理得：，
∵BP+OP≥OB，
∴BP≥OB－OP，
即当P点与F点重合时，BP最短，且最小值为OB－OP，
∵OP=OC=2，
∴，
即BP的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆周角定理，三角形面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，两点间线段最短，涉及的知识点较多，难度大，关键是找出点P的运动路径，这也是本题第（3）题的难点．
模型五：定角定高求最值
如左图，A是直线BC外一点，A到BC的距离是定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC有最小值。
【解析】要使三角形的面积最小，高为定值，则需BC最小。
取△ABC的外心O，连接OA,OB,OC，过O作OH⊥BC，则OA+OH≥AD，当且三点共线时取等。△BOC是一个确定顶角的等腰三角形，要使BC最小，则只需让OH最小即可。当AOH三点共线时，即满足题意。
【例5】为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。
解析：通过“距地面30米”，“光线夹角60°”，可识别出定角定高模型，定角为60°，定高为30米，因此当△ABC为等腰三角形，边BC有最小值，此时△ABC为等边三角形，解直角三角形求出BC，进而求出面积，周长。
25．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC的工作面，使得∠ACB=60°，CD是AB边上的高，且CD=6，则△ABC的面积最小值是_______．
【答案】
【分析】作的外接圆，连接、、，作于，设．根据圆周角和等腰三角形的性质得，，再由三角形三边关系可得最小值，最后根据三角形面积公式答案．
【详解】解：作的外接圆，连接、、，作于，设．
，，
，，，，
，，
，，
，，
，
，
的最小值为2．
为中点，
，
的最小值为，
的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查等三角形面积最小值，涉及的知识多，不等式性质，等腰三角形性质，圆的性质，三边关系，难度较大，利用辅助线准确作出图形是解题关键．
26．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，∠C＝60°，连接BD，BD⊥AB且BD＝CD，求四边形ABCD面积的最大值．小明过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，连接DH，则∠AHD的正弦值为___，据此可得四边形ABCD面积的最大值为___．
【答案】
【分析】先推出BD∥CH，可得，由tan∠BHD=，结合勾股定理可得sin∠AHD的值，作的外接，过点O作OE⊥AD，连接OA，OD，设的半径为R，延长EO交于点，可知：当H与重合时，最大，进而即可求解．
【详解】解：∵∠C=60°，BD=CD，
∴为等边三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∵BD⊥AB，CH⊥AB，
∴BD∥CH，
∴，∠HCB=∠BDC=60°，
∴，
∴最大，则最大，
在中，tan∠BHD=，
设BD=2x，则BH=，HD=，
∴sin∠AHD=sin∠BHD=．
作的外接，过点O作OE⊥AD，连接OA，OD，设的半径为R，
∵∠AHD=∠AOD，∠AOE=∠AOD，
∴∠AHD=∠AOE，
∴sin∠AOE= sin∠AHD=，
∴中，AE=AD=3，R=OA= AE÷sin∠AOE=3÷=，
OE=AE÷tan∠AOE=3÷=，
延长EO交于点，E=OE+O=+，
∵当H与重合时，最大，
∴最大值=．
故答案是：，．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，圆周角定理，推出，添加辅助圆，找到最大时，所对应的点H，是解题的关键．
27．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为_____．
【答案】
【分析】如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．解直角三角形求出OE，OB，求出BE的最大值即可解决问题．
【详解】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．
∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵EC＝2AE＝4，
∴AE＝2，
∴AC＝AE+EC＝6，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1，
∵∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OH＝AH tan30°＝，
∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2，
∴OB＝OA＝2，
∵BE≤OB+OE，
∴BE≤2+2，
∴BE的最大值为2+2，
∵BE＝2DE，
∴DE的最大值为1+，
∴BD的最大值为3+3．
故答案为3+3．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，综合性比较强，能够转化为圆的问题是解题的关键．
