2023年中考数学二轮专项练习：二次函数图像与坐标轴的交点问题
一、单选题
1．二次函数 y = x2+2x-1的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（-2，0） B．（0，-2） C．（-1，0） D．（0，-1 ）
2．已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1
3．若抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞1
4．抛物线 的图象如图所示，则下列说法中：① ；② ；③方程 没有实数根；④ （m为任意实数），正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2017，m）在第1009段抛物线C1009上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．不确定
6．已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值2
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x取0和2时，所得到的y的值相同
D．图象与y轴的交点坐标是（0，2）
7．如图，抛物线 （ ）的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论：① ；②方程 的两个根是 ， ；③ ；④当 时， 的取值范围是 ；⑤当 时， 随 增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．如图，关于x的二次函数y=x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x=a时，y＜0，那么关于x的一次函数y=（a﹣1）x+m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线 （ ）经过点 ，对称轴为直线 .下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总有 ；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程 （P为常数，且 ）的根为整数，则P的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．抛物线 与 轴的两个交点之间的距离为4，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
11．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x=3时，y＜0
D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根
二、填空题
13．已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S= ．
14．体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=﹣ x2+x+12的一部分，该同学的成绩是 ．
15．已知二次函数（n为常数），若该函数图象与x轴只有一个公共点，则 ．
16．二次函数y=x2+bx的图象如图所示，对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解，则t的取值范围是 ．
17．在－1，0，1这三个数中任取两个数 ， ，则二次函数 图象的顶点在坐标轴上的概率为 .
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴交于负半轴，给出六个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＝0；⑤b2﹣4ac＞0；⑥2a﹣b＞0，其中正确结论的序号是
三、综合题
19．已知抛物线y=x2﹣（m+1）x+m
（1）求证：抛物线与x轴一定有交点；
（2）若抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜0＜x2，且 ，求m的值．
20．如图，抛物线y =a(x+1)(x-2)与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点 C(0，2)，连结BC交抛物线的对称轴于点E，连结OE．
（1）求a的值和点A，B的坐标．
（2）求△OBE的面积．
21．已知函数（m为常数），问：
（1）无论m取何值，该函数的图象总经过x轴上某一定点，该定点坐标为 ；
（2）求证：无论m为何值，该函数的图象顶点都在函数图象上：
（3）若抛物线与x轴有两个交点A、B，且，求线段AB的最大值.
22．如图，已知点B（1，3），C（1，0），直线y=x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空：A点坐标为（ ， ），D点坐标为（ ， ）；
（2）若抛物线y= x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．
（提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣ ，顶点坐标是（﹣ ， ）
23．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积．
24．已知抛物线的解析式为
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线 的一个交点在y轴上，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】D
11．【答案】A
12．【答案】C
13．【答案】
14．【答案】6+6
15．【答案】4
16．【答案】t＜﹣4或t≥12
17．【答案】
18．【答案】①④⑤⑥
19．【答案】（1）证明：∵△=[﹣（m+1）]2﹣4m
=m2+2m+1﹣4m
=m2﹣2m+1
=（m﹣1）2≥0，
∴无论m为何值，抛物线与x轴一定有交点
（2）解：∵抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜0＜x2，
∴OA=﹣x1，OB=x2，
令y=0得：x2﹣（m+1）x+m=0，
由一元二次方程根与系数的关系可知：x1+x2=m+1，x1 x2=m．
∵ ，
∴﹣ ﹣ =﹣ ，即 + = ，
∴ = ，
∴ = ，
解得m=﹣4
20．【答案】（1）解：把C（0，2）代入y =a(x+1)(x-2)得，
解得，
∴
令y=0，则有
解得，
∴
（2）解：∵
∴对称轴方程为直线
设直线BC的解析式为
把 代入解析式 ，得
解得，
∴直线BC的解析式为
把 代入得，
∴ 的OB边上的高为
又OB=2
∴
21．【答案】（1）（-1，0）
（2）证明：∵，
∴函数的顶点坐标为，
∴当时，，
∴无论m为何值该函数图象的顶点都在图象上；
（3）解：令，，
解得：，，
∴，
令线段AB的长度为z，则，
因为，
所以，
因为z随m增大而增大，
所以当时，，
故线段AB的最大值为3.
22．【答案】（1）﹣2；0；﹣2；3
（2）解：∵抛物线y= x2+bx+c经过C（1，0），D（﹣2，3）代入，解得：b=﹣ ，c=
∴所求抛物线解析式为：y= x2﹣ x+ ；
（3）解：答：存在．
∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐标相等．
∴EM不会与x轴平行，
当点M在抛物线的右侧时，
设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，
则平移后的抛物线的解析式为
∵y= （x﹣1）2+h，
∴抛物线与y轴交点E（0， +h），
∵抛物线的对称轴为：x=1，
根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2， +h）时，直线EM∥x轴，
将（2， +h）代入y=x+2得 +h=2+2
解得：h= ．
∴抛物线向上平移 个单位能使EM∥x轴．
23．【答案】（1）解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），
把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣ ，
则抛物线解析式为y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣ x+2
（2）解：过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，
设直线AC解析式为y=kx+t，则有 ，
解得： ，
∴直线AC解析式为y= x+2，
设点D的横坐标为m，则G横坐标也为m，
∴DH=﹣ m2﹣ m+2，GH= m+2，
∴DG=﹣ m2﹣ m+2﹣ m﹣2=﹣ m2﹣m，
∴S△ADC=S△ADG+S△CDG= DG AH+ DG OH= DG AO=2DG=﹣ m2﹣2m=﹣ （m2+4m）=﹣ [（m+2）2﹣4]=﹣ （m+2）2+2，
当m=﹣2时，S△ADC取得最大值2，此时yD=﹣ ×（﹣2）2﹣ ×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）．
24．【答案】（1）证明：∵
∴
∴ 方程 有两个不相等的实数根.
∴ 抛物线 与 轴必有两个不同的交点.
（2）解：令 则 解得
